Seja
. Prove que
Dica: Auxilie-se do Teorema da Função Inversa.
Passo 1
Beleza, vamos provar que a derivada de $ y = \arctan(x) $ é $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^{2}} $. Para isso, vamos usar o Teorema da Função Inversa, que nos ajuda a derivar funções que são inversas umas das outras. Então, vamos precisar entender o que é função inversa e como aplicar esse teorema na prática.
Passo 2
Primeiro, lembre que se $ y = \arctan(x) $, então isso significa que $ x = \tan(y) $. A função tangente e a arctan são funções inversas, ou seja, elas se cancelam quando compostas.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação $ x = \tan(y) $ em relação a $ x $. Isso vai nos ajudar a encontrar $ \frac{dy}{dx} $. Aplicando a derivada:
Passo 4
Calculando as derivadas:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \tan(y) $ em relação a $ y $ é $ \sec^{2}(y) $, e depois multiplicamos por $ \frac{dy}{dx} $ porque $ y $ é função de $ x $.
Passo 5
Agora, queremos isolar $ \frac{dy}{dx} $. Então, vamos rearranjar a equação:
Passo 6
Sabemos que $ \sec^{2}(y) = 1 + \tan^{2}(y) $ (uma identidade trigonométrica). E como $ \tan(y) = x $, substituímos na equação:
Resposta
Portanto, a derivada de $ y = \arctan(x) $ é $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^{2}} $.