Seja y=arctan (x). Prove que
d yd x=11+x^2
Dica: Auxilie-se do Teorema da Função Inversa.

Passo 1

Beleza, vamos provar que a derivada de $ y = \arctan(x) $ é $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^{2}} $. Para isso, vamos usar o Teorema da Função Inversa, que nos ajuda a derivar funções que são inversas umas das outras. Então, vamos precisar entender o que é função inversa e como aplicar esse teorema na prática.

Passo 2

Primeiro, lembre que se $ y = \arctan(x) $, então isso significa que $ x = \tan(y) $. A função tangente e a arctan são funções inversas, ou seja, elas se cancelam quando compostas.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação $ x = \tan(y) $ em relação a $ x $. Isso vai nos ajudar a encontrar $ \frac{dy}{dx} $. Aplicando a derivada:
x = tan(y)

Passo 4

Calculando as derivadas:
1 = sec^2(y) cdot dydx
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \tan(y) $ em relação a $ y $ é $ \sec^{2}(y) $, e depois multiplicamos por $ \frac{dy}{dx} $ porque $ y $ é função de $ x $.

Passo 5

Agora, queremos isolar $ \frac{dy}{dx} $. Então, vamos rearranjar a equação:
dydx

Passo 6

Sabemos que $ \sec^{2}(y) = 1 + \tan^{2}(y) $ (uma identidade trigonométrica). E como $ \tan(y) = x $, substituímos na equação:
sec^2(y) = 1 + tan^2(y)

Resposta

Portanto, a derivada de $ y = \arctan(x) $ é $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^{2}} $.

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