Considere a função dada por f(x)=x-log (x).
Esboce o gráfico da função f.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=x-log(x). O conteúdo principal é análise de funções: vamos precisar determinar domínio, interceptos, derivadas (para monotonicidade e extremos), concavidade e limites nas fronteiras do domínio.

Passo 2

Primeiro, obtenho o domínio e intercepto com o eixo y: como log(x) exige x>0, temos domínio (0,infty). Para o intercepto em y, não existe x=0, mas podemos achar o intercepto em x=1: f(1)=1-log(1)=1.

Passo 3

Agora calculo a primeira derivada para ver monotonicidade e extremos:
f'(x)=1-1x
Resolvo f'(x)=0:
1-1x=0implies x=1
Em x<1, f'(x)=1-1/x<0 (função decrescente). Em x>1, f'(x)>0 (função crescente). Logo há um mínimo em x=1.

Passo 4

Para saber se é mínimo e entender a concavidade, calculo a segunda derivada:
f''(x)=1x^2>0para todo x>0
Como f''(x)>0, a curva é côncava para cima em todo o domínio, confirmando que o ponto (1,1) é mínimo global.

Passo 5

Agora avalio os limites nas fronteiras do domínio:
Para xto0^+: log(x)to-infty e então f(x)=x-log(x)to+infty.
Para xto+infty: x domina log(x), logo f(x)to+infty.

Passo 6

Unindo tudo: no domínio (0,infty) a função vem de +\infty em xto0^+, decresce até o mínimo (1,1), depois cresce e vai a +\infty em xtoinfty. A curva é sempre côncava para cima. Com essas informações, é só desenhar a forma característica em “U assimétrico” com mínimo em (1,1).

Resposta

O gráfico de f(x)=x-log(x) no domínio (0,infty) é côncavo para cima, tem mínimo global em (1,1), decresce de +∞ (quando xto0^+) até (1,1) e cresce para +∞ (quando xtoinfty).

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