Considere a função dada por
.
Esboce o gráfico da função
.
Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
. O conteúdo principal é análise de funções: vamos precisar determinar domínio, interceptos, derivadas (para monotonicidade e extremos), concavidade e limites nas fronteiras do domínio.
Passo 2
Primeiro, obtenho o domínio e intercepto com o eixo
: como
exige
, temos domínio
. Para o intercepto em
, não existe
, mas podemos achar o intercepto em
:
.
Passo 3
Agora calculo a primeira derivada para ver monotonicidade e extremos:
Resolvo
:
Em
,
(função decrescente). Em
,
(função crescente). Logo há um mínimo em
.
Passo 4
Para saber se é mínimo e entender a concavidade, calculo a segunda derivada:
Como
, a curva é côncava para cima em todo o domínio, confirmando que o ponto
é mínimo global.
Passo 5
Agora avalio os limites nas fronteiras do domínio:
Para :
e então
.
Para :
domina
, logo
.
Para
Para
Passo 6
Unindo tudo: no domínio
a função vem de +\infty em
, decresce até o mínimo
, depois cresce e vai a +\infty em
. A curva é sempre côncava para cima. Com essas informações, é só desenhar a forma característica em “U assimétrico” com mínimo em
.
Resposta
O gráfico de
no domínio
é côncavo para cima, tem mínimo global em
, decresce de +∞ (quando
) até
e cresce para +∞ (quando
).