Sejam
e
matrizes quadradas reais e
um número real tais que
.
(a) Mostre que
se e só se as matrizes
e
comutam.
(b) Mostre que se
então pelo menos uma das matrizes
ou
é singular.
(c) Prove que se
e
, então
e
são ambas singulares.
(a) Mostre que
(b) Mostre que se
(c) Prove que se
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes quadradas reais de ordem
e que existe
tal que
O conteúdo envolve álgebra de matrizes: vamos expandir
, comparar com a expressão dada e extrair uma relação entre
e
. Depois usaremos essa relação para cada item, recorrendo a determinantes quando necessário.
Passo 2
Expandindo
e comparando com o direito, temos
e, por hipótese,
Cancelando
de ambos os lados resulta
Passo 3
(a) “
se e só se
e
comutam.”
- Se
, então da relação vem , ou seja . - Reciprocamente, se
e comutam, então e substituindo em dá . Como não é a “fórmula” que define mas um produto qualquer, para essa identidade valer para a matriz genérica precisa-se de .
Passo 4
(b) “Se
então pelo menos uma das matrizes
ou
é singular.”
Da relação tome determinante em ambos os lados:
Da relação
Logo
Se
então
e, sendo real,
só ocorreria no caso
e
par (caso excepcional). No geral, para
segue-se que
,
ou seja, pelo menos uma das matrizes é singular.
ou seja, pelo menos uma das matrizes é singular.
Passo 5
(c) “Se
e
, então
e
são ambas singulares.”
Para a relação
vira
Para
Então
, compatível com
. Mas
implica
o que contradiz
. Logo
não pode ser invertível, isto é,
é singular. De modo análogo
é singular.
Resposta
(a)
se e somente se
.
(b) Se , então
, ou seja,
ou
é singular.
(c) Para e
, deduz-se
, e daí ambos
e
são singulares.
(b) Se
(c) Para