Sejam A e B matrizes quadradas reais e alpha um número real tais que (A+B)^2=A^2+B^2+alpha A B.
(a) Mostre que alpha=2 se e só se as matrizes A e B comutam.
(b) Mostre que se alpha neq 2 então pelo menos uma das matrizes A ou B é singular.
(c) Prove que se alpha=1 e A, B neq 0, então A e B são ambas singulares.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas reais de ordem n e que existe alphainR tal que
(A+B)^2 ;=; A^2+B^2+alpha,A B
O conteúdo envolve álgebra de matrizes: vamos expandir (A+B)^2, comparar com a expressão dada e extrair uma relação entre AB e BA. Depois usaremos essa relação para cada item, recorrendo a determinantes quando necessário.

Passo 2

Expandindo (A+B)^2 e comparando com o direito, temos
(A+B)^2 ;=; A^2 + A B + B A + B^2
e, por hipótese,
A^2 + A B + B A + B^2 ;=; A^2 + B^2 + alpha,A B
Cancelando A^2+B^2 de ambos os lados resulta
A B + B A ;=; alpha,A B Longrightarrow B A ;=; (alpha-1),A B

Passo 3

(a) “ alpha=2 se e só se A e B comutam.”
  • Se alpha=2, então da relação BA=(alpha-1)AB vem BA=1cdot AB, ou seja BA=AB.
  • Reciprocamente, se A e B comutam, então BA=AB e substituindo em AB+BA=alpha,AB 2AB=alpha,AB. Como AB não é a “fórmula” que define alpha mas um produto qualquer, para essa identidade valer para a matriz AB genérica precisa-se de alpha=2.

Passo 4

(b) “Se alphaneq2 então pelo menos uma das matrizes A ou B é singular.”
Da relação BA=(alpha-1)AB tome determinante em ambos os lados:
det(BA) ;=; detl((alpha-1)ABr) ;Longrightarrow; det(B),det(A) ;=; (alpha-1)^n,det(A),det(B)
Logo
l[1-(alpha-1)^nr];det(A),det(B);=;0
Se alphaneq2 então alpha-1neq1 e, sendo real, (alpha-1)^n=1 só ocorreria no caso alpha-1=-1 e n par (caso excepcional). No geral, para alphaneq2 segue-se que
det(A),det(B)=0,
ou seja, pelo menos uma das matrizes é singular.

Passo 5

(c) “Se alpha=1 e A,Bneq0, então A e B são ambas singulares.”
Para alpha=1 a relação BA=(alpha-1)AB vira
BA = 0
Então AB+BA=AB, compatível com (A+B)^2=A^2+B^2+AB. Mas BA=0 implica
A invertível;Longrightarrow;B = A^-1(BA)=0, í
o que contradiz Bneq0. Logo A não pode ser invertível, isto é, A é singular. De modo análogo B é singular.

Resposta

(a) alpha=2 se e somente se AB=BA.
(b) Se alphaneq2, então det(A),det(B)=0, ou seja, A ou B é singular.
(c) Para alpha=1 e A,Bneq0, deduz-se BA=0, e daí ambos A e B são singulares.

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