Se Y \sim \operatorname{Bernoulli}(p), E(X \mid Y=0)=1 e E(X \mid Y=1)=2, obtenha E(X).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar E(X). As informações dadas são:
  • Y \sim \operatorname{Bernoulli}(p).
  • \;E(X\mid Y=0)=1.
  • \;E(X\mid Y=1)=2.
Também sabemos (da definição de Bernoulli) que \;P(Y=1)=p e \;P(Y=0)=1-p. A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Vamos usar a ideia básica por trás da esperança condicionada: a esperança total de X pode ser obtida fazendo a média das expectativas condicionais, ponderadas pelas probabilidades dos eventos condicionantes. Formalmente, essa é a lei da esperança total:
E(X)=E\bigl(E(X\mid Y)\bigr).
Intuição curta e direta: como Y particiona o espaço em casos (aqui só dois: Y=0 e Y=1), a média geral de X é a média das médias de X em cada caso, ponderada pela probabilidade de cada caso.

Passo 3

Como Y só assume os valores 0 e 1, a lei da esperança total se escreve explicitamente como
E(X)=E(X\mid Y=0)\,P(Y=0)+E(X\mid Y=1)\,P(Y=1).
Agora usemos as informações do enunciado: \;E(X\mid Y=0)=1, \;E(X\mid Y=1)=2, \;P(Y=0)=1-p e \;P(Y=1)=p.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula do passo anterior:
E(X)=1\cdot(1-p)+2\cdot p.
Faço agora a álgebra passo a passo:
E(X)=1-p+2p.
Agrupando os termos em p:
E(X)=1 + (-p+2p)=1 + p.
Portanto a expressão simplificada para a esperança de X é 1+p.

Passo 5

Pequena verificação intuitiva para te animar: se \;p=0 então E(X)=1 (faz sentido, porque Y sempre é 0 e aí E(X\mid Y=0)=1); se \;p=1 então E(X)=2 (porque Y sempre é 1). Se \;p=0,5 então E(X)=1{,}5. Isso confirma que a fórmula \;1+p faz sentido nas extremidades e no caso intermediário.

Resposta

1+p

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