Se
e
, obtenha
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
. As informações dadas são:
-
. -
. -
.
Também sabemos (da definição de Bernoulli) que
e
. A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Vamos usar a ideia básica por trás da esperança condicionada: a esperança total de
pode ser obtida fazendo a média das expectativas condicionais, ponderadas pelas probabilidades dos eventos condicionantes. Formalmente, essa é a lei da esperança total:
Intuição curta e direta: como
particiona o espaço em casos (aqui só dois:
e
), a média geral de
é a média das médias de
em cada caso, ponderada pela probabilidade de cada caso.
Passo 3
Como
só assume os valores
e
, a lei da esperança total se escreve explicitamente como
Agora usemos as informações do enunciado:
,
,
e
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula do passo anterior:
Faço agora a álgebra passo a passo:
Agrupando os termos em
:
Portanto a expressão simplificada para a esperança de
é
.
Passo 5
Pequena verificação intuitiva para te animar: se
então
(faz sentido, porque
sempre é
e aí
); se
então
(porque
sempre é
). Se
então
. Isso confirma que a fórmula
faz sentido nas extremidades e no caso intermediário.