As variáveis
e
são tais que
. Determine o coeficiente de correlação entre elas.
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para determinar o coeficiente de correlação entre
e
.
Informações relevantes fornecidas:
.
Pergunta a responder:
Qual é o valor do coeficiente de correlação entre e
?
Qual é o valor do coeficiente de correlação entre
Passo 2
Vamos recordar definições e propriedades que vamos usar (explicando cada símbolo):
-
A variância de uma variável aleatória
é . Ela mede a dispersão de em torno da sua média. Se , isto significa que é (quase certamente) uma constante: não varia. -
A covariância entre
e é e mede como e variam conjuntamente. -
A fórmula para a variância da soma é
- O coeficiente de correlação linear (ou correlação de Pearson) entre
e é
Nesse fórmula,
fica definido apenas quando
e
. Se uma ou ambas variâncias forem zero, o denominador é zero e a correlação é indefinida.
Passo 3
A partir da hipótese do enunciado aplicamos a fórmula da variância da soma:
Isolando
temos
Passo 4
Outra forma mais conceitual (e que conduz direto ao resultado mais forte) é notar que
implica que
é (quase certamente) constante. Ou seja, existe uma constante
tal que, com probabilidade 1,
Dessa equação segue que
Passo 5
Usando
calculamos
e
:
- Como
é constante, . Logo
- Para a variância de
,
Portanto
e
.
Passo 6
Agora substituímos na definição do coeficiente de correlação:
desde que
(assim o denominador é diferente de zero).