As variáveis X e Y são tais que \operatorname{var}(X+Y)=0. Determine o coeficiente de correlação entre elas.

Passo 1

O enunciado dá a informação \operatorname{var}(X+Y)=0 e pede para determinar o coeficiente de correlação entre X e Y.
Informações relevantes fornecidas:
\operatorname{var}(X+Y)=0.
Pergunta a responder:
Qual é o valor do coeficiente de correlação entre X e Y?

Passo 2

Vamos recordar definições e propriedades que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A variância de uma variável aleatória Z é \operatorname{var}(Z). Ela mede a dispersão de Z em torno da sua média. Se \operatorname{var}(Z)=0, isto significa que Z é (quase certamente) uma constante: Z não varia.
  • A covariância entre X e Y é \operatorname{cov}(X,Y) e mede como X e Y variam conjuntamente.
  • A fórmula para a variância da soma é
\operatorname{var}(X+Y)=\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y)+2\operatorname{cov}(X,Y).
  • O coeficiente de correlação linear (ou correlação de Pearson) entre X e Y é
\rho_{X,Y}=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X)\,\operatorname{var}(Y)}}.
Nesse fórmula, \rho_{X,Y} fica definido apenas quando \operatorname{var}(X)>0 e \operatorname{var}(Y)>0. Se uma ou ambas variâncias forem zero, o denominador é zero e a correlação é indefinida.

Passo 3

A partir da hipótese do enunciado aplicamos a fórmula da variância da soma:
0=\operatorname{var}(X+Y)=\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y)+2\operatorname{cov}(X,Y).
Isolando \operatorname{cov}(X,Y) temos
\operatorname{cov}(X,Y)=-\frac{\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y)}{2}.

Passo 4

Outra forma mais conceitual (e que conduz direto ao resultado mais forte) é notar que \operatorname{var}(X+Y)=0 implica que X+Y é (quase certamente) constante. Ou seja, existe uma constante c tal que, com probabilidade 1,
X+Y=c.
Dessa equação segue que
Y=c-X \quad\text{(quase certamente).}

Passo 5

Usando Y=c-X calculamos \operatorname{cov}(X,Y) e \operatorname{var}(Y):
  • Como c é constante, \operatorname{cov}(X,c)=0. Logo
\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{cov}(X,c-X)=\operatorname{cov}(X,c)-\operatorname{cov}(X,X)=-\operatorname{var}(X).
  • Para a variância de Y,
\operatorname{var}(Y)=\operatorname{var}(c-X)=\operatorname{var}(-X)=(-1)^2\operatorname{var}(X)=\operatorname{var}(X).
Portanto \operatorname{var}(X)=\operatorname{var}(Y) e \operatorname{cov}(X,Y)=-\operatorname{var}(X).

Passo 6

Agora substituímos na definição do coeficiente de correlação:
\rho_{X,Y}=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X)\,\operatorname{var}(Y)}}=\frac{-\operatorname{var}(X)}{\sqrt{\operatorname{var}(X)\,\operatorname{var}(X)}}=\frac{-\operatorname{var}(X)}{\operatorname{var}(X)}=-1,
desde que \operatorname{var}(X)>0 (assim o denominador é diferente de zero).

Resposta

-1 (se \operatorname{var}(X)>0 e \operatorname{var}(Y)>0; se \operatorname{var}(X)=\operatorname{var}(Y)=0 as variáveis são constantes e a correlação é indefinida)

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