Seja 
  a população de camarões na lagoa dos Patos, supondo que os camarões são capturados a uma taxa constante 
  camarões por semana e a população satisfaz a equação logística
 
onde 
  e 
 .
Prove que se a população inicial é menor que 
 , os camarões se extingem em um tempo finito, porém se 
  a população tende a 
  quando 
  cresce.
Prove que se a população inicial é menor que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve a população de camarões na Lagoa dos Patos:
Aqui, 
 , 
  e 
  são constantes positivas. O objetivo é provar duas coisas:
- Se a população inicial 
for menor que certos valores , os camarões vão se extinguir em um tempo finito.  - Se a população inicial 
for maior que , a população tende a quando o tempo aumenta.  
Para resolver isso, vamos precisar entender as equações diferenciais logísticas e como elas se comportam, além de analisar os pontos de equilíbrio da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise:
Essa é uma equação logística modificada devido ao termo constante 
 , que representa a taxa de captura constante de camarões por semana.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de equilíbrio, ou seja, os valores de 
  que tornam 
 :
Podemos rearranjar essa equação para:
Essa é uma equação quadrática em 
 , cuja solução nos dará os pontos de equilíbrio 
  e 
 .
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática 
  usando a fórmula de Bhaskara:
Para que tenhamos pontos reais de equilíbrio, o discriminante 
  deve ser positivo, ou seja, 
 .
Passo 5
Assumindo que 
 , temos dois pontos de equilíbrio reais:
Onde 
 .
Passo 6
Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Para isso, observamos o sinal de 
  em diferentes regiões:
- Para 
: , então a população diminui.  - Para 
: , então a população aumenta.  - Para 
: , então a população diminui.  
Passo 7
Isso significa que:
- Se a população inicial 
, a população continuará diminuindo até chegar a zero. Como a taxa de diminuição é constante, isso ocorre em um tempo finito.  - Se a população inicial 
, a população tende a crescer até atingir o ponto de equilíbrio estável conforme o tempo aumenta.  
Resposta
Portanto, provamos que se a população inicial 
 , os camarões se extinguem em um tempo finito. Por outro lado, se 
 , a população tende a 
  conforme o tempo cresce.