Seja y = t x, onde x = x(t) é uma função derivável até 2^a ordem. Verifique que d y/d t = 3 t^2 x + t^3 d x/d t.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos dá a função , onde é uma função que pode ser diferenciada até a segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do produto, que é usada quando temos o produto de duas funções que dependem de uma mesma variável.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função que serão usadas na regra do produto. Temos:
A regra do produto diz que a derivada de é:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Calculando :
Calculando :
Agora, aplicando a regra do produto:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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