Seja f: R -> R derivável e seja g(t) = f(te^(2t)). Supondo f'(1) = 2, calcule g'(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é derivável, e outra função definida por . O que queremos encontrar é a derivada de quando , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto, que são técnicas de derivação no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivar a função . Aqui, temos uma função composta: está sendo aplicada a . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que basicamente diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Então, aplicando a regra da cadeia, temos:
Agora, precisamos derivar em relação a . Para isso, usamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro pelo segundo mais o primeiro pela derivada do segundo.

Passo 4

Derivando :
Então, substituindo de volta na expressão da derivada de :

Passo 5

Agora, queremos encontrar . Vamos substituir na expressão que achamos:
Ou seja, .

Resposta

A derivada é igual a . Portanto, .

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