No que segue, considere a função dada por f(x)=x^4+1x^2.
Sabendo que
f^prime(x)=2(x^2+1)(x^2-1)x^3 e f^prime prime(x)=2 x^4+6x^4, determine ( caso existam ):
Os intervalos de crescimento e decrescimento de f :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções e suas características de crescimento e decrescimento. A função que estamos analisando é . Para determinar os intervalos onde essa função está crescendo ou decrescendo, vamos usar derivadas. Precisamos entender como a primeira derivada nos ajuda a identificar esses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira derivada . A primeira derivada nos diz a taxa de variação da função. Se , a função está crescendo, e se , está decrescendo. Então, nosso objetivo é encontrar onde é positiva ou negativa.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da primeira derivada para facilitar a análise dos sinais:
f'(x) = 2(x^2+1)(x^2-1)x^3 = 2(x^2+1)(x-1)(x+1)x^3
Observamos que os fatores são , , e . Vamos analisar cada um:
  • é sempre positivo, pois e adicionando 1 nunca torna negativo.
  • muda de sinal em .
  • muda de sinal em .
  • muda de sinal em .

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores críticos onde a derivada pode mudar de sinal: , e . Vamos dividir a linha dos números reais nesses intervalos e determinar o sinal de em cada intervalo.
  • Intervalo 1:
  • Intervalo 2:
  • Intervalo 3:
  • Intervalo 4:

Passo 5

Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e determinar o sinal de cada fator na derivada:
  • Intervalo 1:
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (negativo)
    • (negativo)
    • Sinal da derivada: (negativo)
  • Intervalo 2:
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (positivo)
    • (negativo)
    • Sinal da derivada: (positivo)
  • Intervalo 3:
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • Sinal da derivada: (negativo)
  • Intervalo 4:
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • Sinal da derivada: (positivo)

Passo 6

Com base nos sinais determinados:
  • Intervalo 1 ( ): → função decresce.
  • Intervalo 2 ( ): → função cresce.
  • Intervalo 3 ( ): → função decresce.
  • Intervalo 4 ( ): → função cresce.

Resposta

Os intervalos de crescimento de são e . Os intervalos de decrescimento são e .

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