No que segue, considere a função dada por
.
Sabendo que
Os intervalos de crescimento e decrescimento de
:
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções e suas características de crescimento e decrescimento. A função que estamos analisando é
. Para determinar os intervalos onde essa função está crescendo ou decrescendo, vamos usar derivadas. Precisamos entender como a primeira derivada
nos ajuda a identificar esses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira derivada
. A primeira derivada nos diz a taxa de variação da função. Se
, a função está crescendo, e se
, está decrescendo. Então, nosso objetivo é encontrar onde
é positiva ou negativa.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da primeira derivada para facilitar a análise dos sinais:
Observamos que os fatores são
,
,
e
. Vamos analisar cada um:
-
é sempre positivo, pois e adicionando 1 nunca torna negativo. -
muda de sinal em . -
muda de sinal em . -
muda de sinal em .
Passo 4
Agora, vamos identificar os valores críticos onde a derivada pode mudar de sinal:
,
e
. Vamos dividir a linha dos números reais nesses intervalos e determinar o sinal de
em cada intervalo.
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
- Intervalo 4:
Passo 5
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e determinar o sinal de cada fator na derivada:
-
Intervalo 1:
-
(positivo) -
(negativo) -
(negativo) -
(negativo) - Sinal da derivada:
(negativo)
-
-
Intervalo 2:
-
(positivo) -
(negativo) -
(positivo) -
(negativo) - Sinal da derivada:
(positivo)
-
-
Intervalo 3:
-
(positivo) -
(negativo) -
(positivo) -
(positivo) - Sinal da derivada:
(negativo)
-
-
Intervalo 4:
-
(positivo) -
(positivo) -
(positivo) -
(positivo) - Sinal da derivada:
(positivo)
-
Passo 6
Com base nos sinais determinados:
- Intervalo 1 (
): → função decresce. - Intervalo 2 (
): → função cresce. - Intervalo 3 (
): → função decresce. - Intervalo 4 (
): → função cresce.
Resposta
Os intervalos de crescimento de
são
e
. Os intervalos de decrescimento são
e
.