Seja
a variável aleatória definida pelo produto das faces dos dois dados
. Nota: Lembre-se que para variáveis independentes,
.
.
Determine a probabilidade de o produto ser um número par. (Dica: Use o complementar ou a lógica de paridade).
Determine a probabilidade de o produto ser um número par. (Dica: Use o complementar ou a lógica de paridade).
Passo 1
O enunciado diz que
é a variável aleatória igual ao produto das faces de dois dados, isto é
, onde
é o resultado do primeiro dado e
do segundo. A tarefa é determinar a probabilidade de o produto ser um número par:
.
Informações relevantes (assumidas como usuais):
- Cada dado é um dado comum de seis faces com resultados
. - Os dois dados são independentes e cada face tem probabilidade igual de ocorrer (uniforme).
- Não foi pedido mais nada além de
.
Passo 2
Entender a lógica de paridade (pequena aula de paridade):
- Um produto de dois inteiros é par se ao menos um dos fatores for par.
- Um produto é ímpar somente se ambos os fatores forem ímpares.
Logo é natural usar o complementar: em vez de contar diretamente os casos em que o produto é par, conta-se os casos em que o produto é ímpar (ambos os dados ímpares) e subtrai-se de 1:
Passo 3
Calcular a probabilidade de um dado ser ímpar (mini-aula sobre contagem em espaço uniforme):
- As faces ímpares de um dado são
, ou seja, há resultados ímpares entre possíveis.
Portanto, para um dado:
Passo 4
Usar independência dos dados para obter a probabilidade de ambos serem ímpares:
- Quando dois eventos são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.
Aqui os eventos “primeiro dado ímpar” e “segundo dado ímpar” são independentes, logo
Esse é exatamente
.
Passo 5
Aplicar o complementar para obter a probabilidade pedida:
Passo 6
Checagem alternativa por contagem direta (opcional, para reforçar a intuição):
- Espaço amostral total tem
pares ordenados . - Casos com produto ímpar ocorrem quando
e são ímpares: escolhas para e para , total casos. - Então casos com produto par são
, e a probabilidade é , coincidindo com o resultado anterior.