Seja Y a variável aleatória definida pelo produto das faces dos dois dados (Y=i \cdot j). Nota: Lembre-se que para variáveis independentes, E(i \cdot j)=E(i). E(j).
Determine a probabilidade de o produto ser um número par. (Dica: Use o complementar ou a lógica de paridade).

Passo 1

O enunciado diz que Y é a variável aleatória igual ao produto das faces de dois dados, isto é Y=i\cdot j, onde i é o resultado do primeiro dado e j do segundo. A tarefa é determinar a probabilidade de o produto ser um número par: P(Y\\ \text{é par})é.
Informações relevantes (assumidas como usuais):
  • Cada dado é um dado comum de seis faces com resultados \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Os dois dados são independentes e cada face tem probabilidade igual de ocorrer (uniforme).
  • Não foi pedido mais nada além de P(Y\\ \text{é par})é.

Passo 2

Entender a lógica de paridade (pequena aula de paridade):
  • Um produto de dois inteiros é par se ao menos um dos fatores for par.
  • Um produto é ímpar somente se ambos os fatores forem ímpares.
    Logo é natural usar o complementar: em vez de contar diretamente os casos em que o produto é par, conta-se os casos em que o produto é ímpar (ambos os dados ímpares) e subtrai-se de 1:
P(Y\\ \text{é par}) = 1 - P(Y\\ \text{é ímpar}).ééí

Passo 3

Calcular a probabilidade de um dado ser ímpar (mini-aula sobre contagem em espaço uniforme):
  • As faces ímpares de um dado são \{1,3,5\}, ou seja, há 3 resultados ímpares entre 6 possíveis.
    Portanto, para um dado:
P(\text{dado é ímpar}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.éí

Passo 4

Usar independência dos dados para obter a probabilidade de ambos serem ímpares:
  • Quando dois eventos são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.
    Aqui os eventos “primeiro dado ímpar” e “segundo dado ímpar” são independentes, logo
P(\text{ambos ímpares}) = P(\text{primeiro ímpar})\cdot P(\text{segundo ímpar}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.ííí
Esse é exatamente P(Y\\ \text{é ímpar})éí.

Passo 5

Aplicar o complementar para obter a probabilidade pedida:
P(Y\\ \text{é par}) = 1 - P(Y\\ \text{é ímpar}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.ééí

Passo 6

Checagem alternativa por contagem direta (opcional, para reforçar a intuição):
  • Espaço amostral total tem 6\times6=36 pares ordenados (i,j).
  • Casos com produto ímpar ocorrem quando i e j são ímpares: 3 escolhas para i e 3 para j, total 3\cdot3=9 casos.
  • Então casos com produto par são 36-9=27, e a probabilidade é 27/36=\tfrac{3}{4}, coincidindo com o resultado anterior.

Resposta

\tfrac{3}{4}

Exercícios relacionados