1. (Análise de Discrepância) Em um processo de controle de qualidade, a variável D é definida como o valor absoluto da diferença entre os dois dados (D=|i-j|). Esta variável modela a discrepância entre duas leituras de sensores independentes.
    a) Qual a probabilidade de a discrepância ser nula ( D=0 )?
    b) Calcule a probabilidade de a discrepância ser maior ou igual a 3 .
    c) Determine o valor esperado E(D).

Passo 1

O enunciado nos diz que a variável de discrepância é D=|i-j|, onde i e j são leituras de dois sensores independentes. As perguntas são:
  • (a) Qual a probabilidade de \,D=0?
  • (b) Qual a probabilidade de \,D\ge 3?
  • (c) Qual é o valor esperado E(D)?
Observação importante (assunção necessária): o enunciado não especifica o conjunto de possíveis valores de i e j nem suas probabilidades. Para poder resolver de forma concreta e didática, vou assumir que as leituras i e j são variáveis discretas independentes e igualmente prováveis que assumem os valores \{1,2,\dots,n\} (ou seja, distribuição uniforme discreta no conjunto de tamanho n). Essa é uma hipótese padrão em exercícios desse tipo; se na sua prova o suporte for outro, os passos abaixo mostram como adaptar o raciocínio.
Dados extraídos / fixos sob a assunção:
  • i,j independentes e uniformes em \{1,\dots,n\}.
  • Espaço amostral total (número de pares ordenados) = n^2.
  • A variável de interesse é D=|i-j|, que toma os valores inteiros \,0,1,2,\dots,n-1.

Passo 2

Entender quando D=0.
Por definição, \,D=0 ocorre exatamente quando as duas leituras coincidem: i=j.
Contagem de casos favoráveis:
  • Há exatamente n pares ordenados com i=j: (1,1),(2,2),\dots,(n,n).
Probabilidade usando contagem (pois todas as n^2 combinações são equiprováveis):
\Pr(D=0)=\frac{\text{número de pares com }i=j}{n^2}=\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}.ú
Explicação pedagógica: quando duas variáveis independentes e uniformes sobre n valores são comparadas, a chance de escolher o mesmo valor nas duas é 1/n — intuitivamente uma das n possibilidades coincide com a escolha do outro sensor.

Passo 3

Encontrar a distribuição de D para k\ge 1.
Para um valor fixo k com 1\le k\le n-1, queremos contar quantos pares ordenados (i,j) satisfazem |i-j|=k.
Contagem:
  • Para cada a=1,2,\dots,n-k existe o par (a,a+k).
  • Para cada a=1,2,\dots,n-k existe também o par (a+k,a).
  • Logo, o número total de pares ordenados com |i-j|=k é 2(n-k).
Probabilidade:
\Pr(D=k)=\frac{2(n-k)}{n^2},\qquad k=1,2,\dots,n-1.
Verificação rápida da soma das probabilidades:
\Pr(D=0)+\sum_{k=1}^{n-1}\Pr(D=k) = \frac{1}{n} + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2(n-k)}{n^2} = \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}\sum_{t=1}^{n-1}t = \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=1,
o que confirma coerência.

Passo 4

Calcular \Pr(D\ge 3) usando a distribuição obtida.
Por definição,
\Pr(D\ge 3)=\sum_{k=3}^{n-1}\Pr(D=k) =\sum_{k=3}^{n-1}\frac{2(n-k)}{n^2}.
Fazer a soma substituindo t=n-k. Quando k=3 temos t=n-3; quando k=n-1 temos t=1. Então a soma dos termos (n-k) é a soma 1+2+\dots+(n-3), cujo valor é \dfrac{(n-3)(n-2)}{2}. Assim
\Pr(D\ge 3)=\frac{2}{n^2}\cdot\frac{(n-3)(n-2)}{2}=\frac{(n-3)(n-2)}{n^2}.
Intuição: pares com diferença pelo menos 3 correspondem a distâncias relativamente grandes no conjunto \{1,\dots,n\}; o numerador (n-3)(n-2) conta quantas dessas combinações ordenadas existem (ajustado pela normalização n^2).

Passo 5

Definir expectativa e escrever soma para E(D).
Por definição de valor esperado de variável discreta,
E(D)=\sum_{k=0}^{n-1} k\Pr(D=k).
O termo k=0 é zero, então
E(D)=\sum_{k=1}^{n-1} k\cdot\frac{2(n-k)}{n^2} =\frac{2}{n^2}\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k).

Passo 6

Calcular a soma \sum_{k=1}^{n-1} k(n-k) de forma algébrica e simplificar para obter uma fórmula fechada para E(D).
Expandir o somando:
\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)=n\sum_{k=1}^{n-1}k-\sum_{k=1}^{n-1}k^2.
Usar fórmulas conhecidas (aulas rápidas):
  • Soma dos primeiros m inteiros: \displaystyle\sum_{k=1}^{m}k=\frac{m(m+1)}{2}. Aqui com m=n-1 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}{2}.
  • Soma dos quadrados: \displaystyle\sum_{k=1}^{m}k^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}. Com m=n-1 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.
Substituindo:
\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)=n\cdot\frac{n(n-1)}{2}-\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.
Colocar em evidência n(n-1):
\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)=n(n-1)\left(\frac{n}{2}-\frac{2n-1}{6}\right).
Calcular o parêntese:
\frac{n}{2}-\frac{2n-1}{6}=\frac{3n-(2n-1)}{6}=\frac{n+1}{6}.
Logo
\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)=n(n-1)\cdot\frac{n+1}{6}=\frac{n(n-1)(n+1)}{6}.
Agora voltar para E(D):
E(D)=\frac{2}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)(n+1)}{6}=\frac{n(n-1)(n+1)}{3n^2}.
Simplificar cancelando um n:
E(D)=\frac{(n-1)(n+1)}{3n}=\frac{n^2-1}{3n}.
Comentário pedagógico: a técnica foi transformar a soma em expressões conhecidas (soma dos inteiros e soma dos quadrados) e manipular algebricamente. O resultado é uma fórmula simples em n que dá o valor médio da discrepância entre duas leituras uniformes e independentes.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para intuição): se n=6 (como em faces de um dado), então:
  • \Pr(D=0)=1/6.
  • \Pr(D\ge 3)=\dfrac{(6-3)(6-2)}{6^2}=\dfrac{3\cdot4}{36}=\dfrac{1}{3}.
  • E(D)=\dfrac{6^2-1}{3\cdot6}=\dfrac{35}{18}\approx1{,}944.
Isso mostra como aplicar as fórmulas concretamente.

Resposta

\Pr(D=0)=\dfrac{1}{n}\n
\Pr(D\ge 3)=\dfrac{(n-3)(n-2)}{n^2}\n
E(D)=\dfrac{n^2-1}{3n}

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