- (Análise de Discrepância) Em um processo de controle de qualidade, a variável
é definida como o valor absoluto da diferença entre os dois dados
. Esta variável modela a discrepância entre duas leituras de sensores independentes.
a) Qual a probabilidade de a discrepância ser nula (
)?
b) Calcule a probabilidade de a discrepância ser maior ou igual a 3 .
c) Determine o valor esperado
.
a) Qual a probabilidade de a discrepância ser nula (
b) Calcule a probabilidade de a discrepância ser maior ou igual a 3 .
c) Determine o valor esperado
Passo 1
O enunciado nos diz que a variável de discrepância é
, onde
e
são leituras de dois sensores independentes. As perguntas são:
- (a) Qual a probabilidade de
? - (b) Qual a probabilidade de
? - (c) Qual é o valor esperado
?
Observação importante (assunção necessária): o enunciado não especifica o conjunto de possíveis valores de
e
nem suas probabilidades. Para poder resolver de forma concreta e didática, vou assumir que as leituras
e
são variáveis discretas independentes e igualmente prováveis que assumem os valores
(ou seja, distribuição uniforme discreta no conjunto de tamanho
). Essa é uma hipótese padrão em exercícios desse tipo; se na sua prova o suporte for outro, os passos abaixo mostram como adaptar o raciocínio.
Dados extraídos / fixos sob a assunção:
-
independentes e uniformes em . - Espaço amostral total (número de pares ordenados) =
. - A variável de interesse é
, que toma os valores inteiros .
Passo 2
Entender quando
.
Por definição, ocorre exatamente quando as duas leituras coincidem:
.
Por definição,
Contagem de casos favoráveis:
- Há exatamente
pares ordenados com : .
Probabilidade usando contagem (pois todas as
combinações são equiprováveis):
Explicação pedagógica: quando duas variáveis independentes e uniformes sobre
valores são comparadas, a chance de escolher o mesmo valor nas duas é
— intuitivamente uma das
possibilidades coincide com a escolha do outro sensor.
Passo 3
Encontrar a distribuição de
para
.
Para um valor fixo com
, queremos contar quantos pares ordenados
satisfazem
.
Para um valor fixo
Contagem:
- Para cada
existe o par . - Para cada
existe também o par . - Logo, o número total de pares ordenados com
é .
Probabilidade:
Verificação rápida da soma das probabilidades:
o que confirma coerência.
Passo 4
Calcular
usando a distribuição obtida.
Por definição,
Por definição,
Fazer a soma substituindo
. Quando
temos
; quando
temos
. Então a soma dos termos
é a soma
, cujo valor é
. Assim
Intuição: pares com diferença pelo menos 3 correspondem a distâncias relativamente grandes no conjunto
; o numerador
conta quantas dessas combinações ordenadas existem (ajustado pela normalização
).
Passo 5
Definir expectativa e escrever soma para
.
Por definição de valor esperado de variável discreta,
Por definição de valor esperado de variável discreta,
O termo
é zero, então
Passo 6
Calcular a soma
de forma algébrica e simplificar para obter uma fórmula fechada para
.
Expandir o somando:
Usar fórmulas conhecidas (aulas rápidas):
- Soma dos primeiros
inteiros: . Aqui com dá . - Soma dos quadrados:
. Com dá .
Substituindo:
Colocar em evidência
:
Calcular o parêntese:
Logo
Agora voltar para
:
Simplificar cancelando um
:
Comentário pedagógico: a técnica foi transformar a soma em expressões conhecidas (soma dos inteiros e soma dos quadrados) e manipular algebricamente. O resultado é uma fórmula simples em
que dá o valor médio da discrepância entre duas leituras uniformes e independentes.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para intuição): se
(como em faces de um dado), então:
-
. -
. -
.
Isso mostra como aplicar as fórmulas concretamente.