Seja
a variável aleatória definida pelo produto das faces dos dois dados
. Nota: Lembre-se que para variáveis independentes,
.
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a esperança da variável aleatória
definida como o produto das faces de dois dados, isto é,
, onde
é o resultado do primeiro dado e
do segundo. Informações importantes dadas (ou implícitas):
- Cada dado é justo com faces
. - Os dois lançamentos são independentes.
- A nota do enunciado lembra que, para variáveis independentes,
.
O que precisamos entregar: calcular.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de esperança (valor esperado) para uma variável discreta. Se
toma valores
com probabilidades
, então
No caso de um dado justo, os possíveis valores são
e cada um tem probabilidade
. Aplicando a definição ao resultado de um único dado (vou chamar essa variável de
; ela representa
ou
indistintamente),
Agora calculamos essa soma passo a passo: a soma dos números de
a
é
. Logo
Explicando as notações: aqui
é a variável aleatória do resultado de um dado;
percorre os valores possíveis;
é a probabilidade de cada face.
Passo 3
Usamos a propriedade para variáveis independentes: se
e
são independentes, então
Intuição rápida (sem formalidade pesada): a expectativa do produto se “separa” quando as probabilidades fatoram, como ocorre na independência. No nosso caso
e
(os resultados dos dois dados) são independentes, então podemos aplicar essa regra.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso problema,
Como os dois dados são idênticos em distribuição,
. Portanto
Convertendo para forma decimal (usando vírgula conforme notação pedida),
Passo 5
Uma verificação alternativa (útil para prova) é calcular diretamente pela soma dupla:
chegando ao mesmo resultado. Isso mostra duas maneiras equivalentes de resolver: usando independência (mais rápido) ou enumerando a soma dupla.