Seja Y a variável aleatória definida pelo produto das faces dos dois dados (Y=i \cdot j). Nota: Lembre-se que para variáveis independentes, E(i \cdot j)=E(i). E(j).
Calcule E(Y).

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a esperança da variável aleatória Y definida como o produto das faces de dois dados, isto é, Y = i\cdot j, onde i é o resultado do primeiro dado e j do segundo. Informações importantes dadas (ou implícitas):
  • Cada dado é justo com faces 1,2,3,4,5,6.
  • Os dois lançamentos são independentes.
  • A nota do enunciado lembra que, para variáveis independentes, E(i\cdot j)=E(i)\cdot E(j).
    O que precisamos entregar: calcular E(Y).

Passo 2

Vamos lembrar a definição de esperança (valor esperado) para uma variável discreta. Se X toma valores x_k com probabilidades p_k, então
E(X)=\sum_k x_k p_k.
No caso de um dado justo, os possíveis valores são 1,2,\dots,6 e cada um tem probabilidade \dfrac{1}{6}. Aplicando a definição ao resultado de um único dado (vou chamar essa variável de I; ela representa i ou j indistintamente),
E(I)=\sum_{k=1}^{6} k\cdot \frac{1}{6}.
Agora calculamos essa soma passo a passo: a soma dos números de 1 a 6 é 1+2+3+4+5+6=21. Logo
E(I)=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3,5.
Explicando as notações: aqui I é a variável aleatória do resultado de um dado; k percorre os valores possíveis; \dfrac{1}{6} é a probabilidade de cada face.

Passo 3

Usamos a propriedade para variáveis independentes: se I e J são independentes, então
E(I\cdot J)=E(I)\cdot E(J).
Intuição rápida (sem formalidade pesada): a expectativa do produto se “separa” quando as probabilidades fatoram, como ocorre na independência. No nosso caso i e j (os resultados dos dois dados) são independentes, então podemos aplicar essa regra.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso problema,
E(Y)=E(i\cdot j)=E(i)\cdot E(j).
Como os dois dados são idênticos em distribuição, E(i)=E(j)=\dfrac{7}{2}. Portanto
E(Y)=\left(\frac{7}{2}\right)\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{49}{4}.
Convertendo para forma decimal (usando vírgula conforme notação pedida),
\frac{49}{4}=12,25.

Passo 5

Uma verificação alternativa (útil para prova) é calcular diretamente pela soma dupla:
E(Y)=\sum_{i=1}^{6}\sum_{j=1}^{6} (i\cdot j)\cdot \frac{1}{36} =\frac{1}{36}\Bigl(\sum_{i=1}^{6} i\Bigr)\Bigl(\sum_{j=1}^{6} j\Bigr) =\frac{1}{36}\cdot 21\cdot 21=\frac{441}{36}=\frac{49}{4},
chegando ao mesmo resultado. Isso mostra duas maneiras equivalentes de resolver: usando independência (mais rápido) ou enumerando a soma dupla.

Resposta

\dfrac{49}{4}=12,25

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