Preencha o espaço vazio com a relação apropriada para cada caso:
\{\emptyset\} —\{\emptyset, a, b\} (conjuntos podem ser elementos de outro conjunto);

Passo 1

O enunciado pede para preencher a relação entre os dois conjuntos:
\{\emptyset\}\;\_\_\;\{\emptyset,a,b\}.
Informações dadas:
  • O conjunto da esquerda é S=\{\emptyset\}, ou seja, um conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio \emptyset.
  • O conjunto da direita é T=\{\emptyset,a,b\}, cujos elementos são \emptyset, a e b.
    O objetivo é decidir qual relação entre conjuntos (por exemplo \in, \subseteq, \subset, etc.) é a apropriada para preencher o espaço vazio.

Passo 2

Entender a relação de pertinência \in.
  • A notação x\in A significa: “ x é um elemento de A”.
  • No nosso caso existe verdadeiramente \emptyset\in T, porque o conjunto vazio \emptyset aparece como um dos elementos listados em T.
  • Pergunta: será que S=\{\emptyset\} é um elemento de T? Para que S\in T fosse verdade, teria de ocorrer que \{\emptyset\} fosse igual a algum dos elementos de T, isto é, igual a \emptyset, ou igual a a, ou igual a b.
    Mas \{\emptyset\} não é igual a \emptyset (pois \emptyset não contém elementos, enquanto \{\emptyset\} contém um elemento), e nada indica que a ou b sejam exatamente \{\emptyset\}.
    Logo: \{\emptyset\}\notin \{\emptyset,a,b\}.

Passo 3

Entender a relação de subconjunto \subseteq e subconjunto próprio \subset (ou \subsetneq).
  • A notação A\subseteq B significa: “todo elemento de A também é elemento de B”.
  • A notação A\subset B (ou A\subsetneq B) significa “ A\subseteq B e A\neq B” — isto é, subconjunto próprio.
  • Vamos verificar se S\subseteq T. Os elementos de S são listados: o único elemento é \emptyset. Como já vimos, \emptyset\in T. Portanto todo elemento de S está em T, e assim \{\emptyset\}\subseteq\{\emptyset,a,b\}.
  • Agora verificar se a inclusão é própria: S\neq T porque T contém a e b que não pertencem a S. Logo a inclusão é estrita: \{\emptyset\}\subsetneq\{\emptyset,a,b\}.

Passo 4

Resumo intuitivo (para fixar): o conjunto da esquerda é “pequeno” — tem só um elemento ( \emptyset) — e esse elemento aparece listado no conjunto da direita, por isso o primeiro é subconjunto do segundo. Mas o segundo tem elementos a mais ( a e b), então não são iguais, ou seja, é subconjunto próprio.

Resposta

\{\emptyset\}\subsetneq\{\emptyset,a,b\}

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