Preencha o espaço vazio com a relação apropriada para cada caso:
(conjuntos podem ser elementos de outro conjunto);
Passo 1
O enunciado pede para preencher a relação entre os dois conjuntos:
Informações dadas:
- O conjunto da esquerda é
, ou seja, um conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio . - O conjunto da direita é
, cujos elementos são , e .
O objetivo é decidir qual relação entre conjuntos (por exemplo, , , etc.) é a apropriada para preencher o espaço vazio.
Passo 2
Entender a relação de pertinência
.
- A notação
significa: “ é um elemento de ”. - No nosso caso existe verdadeiramente
, porque o conjunto vazio aparece como um dos elementos listados em . - Pergunta: será que
é um elemento de ? Para que fosse verdade, teria de ocorrer que fosse igual a algum dos elementos de , isto é, igual a , ou igual a , ou igual a .
Masnão é igual a (pois não contém elementos, enquanto contém um elemento), e nada indica que ou sejam exatamente .
Logo:
Passo 3
Entender a relação de subconjunto
e subconjunto próprio
(ou
).
- A notação
significa: “todo elemento de também é elemento de ”. - A notação
(ou ) significa “ e ” — isto é, subconjunto próprio. - Vamos verificar se
. Os elementos de são listados: o único elemento é . Como já vimos, . Portanto todo elemento de está em , e assim - Agora verificar se a inclusão é própria:
porque contém e que não pertencem a . Logo a inclusão é estrita:
Passo 4
Resumo intuitivo (para fixar): o conjunto da esquerda é “pequeno” — tem só um elemento (
) — e esse elemento aparece listado no conjunto da direita, por isso o primeiro é subconjunto do segundo. Mas o segundo tem elementos a mais (
e
), então não são iguais, ou seja, é subconjunto próprio.