Seja
, em que
é uma raiz da equação
e
constantes. Verifique que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função é
. - A letra
é uma raiz da equação característica , com e constantes.
O que pede o enunciado: - Verificar que
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada de
. Lembre que, pela regra da cadeia, a derivada de
é
. Aqui
, portanto
. Logo,
Explicando: multiplicou-se a derivada do expoente
pela própria exponencial.
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada derivando
. Como
é constante, aplicando novamente a regra da cadeia obtemos
Ou seja, cada derivação traz um fator
multiplicando a exponencial.
Passo 4
Substituímos
,
e
na expressão que devemos verificar:
Fatorando
em comum, obtemos
Passo 5
Pelo enunciado,
é raiz da equação
. Isso significa exatamente que
Substituindo esse resultado na expressão fatorada do Passo 4,
Além disso, sabe-se que
para todo
, então o único motivo para o produto ser zero é o fator
ser zero — o que ocorre porque
é raiz. Portanto a igualdade pedida está verificada para todo
.
Passo 6
Comentário didático rápido (útil para a prova): este cálculo mostra a ideia geral usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Procura-se soluções do tipo
; ao substituir, aparece o factor
multiplicando o polinômio
. Zerar esse polinômio (a equação característica) fornece valores de
que geram soluções da equação diferencial. Exemplo numérico rápido: se
e
, a equação característica é
, logo
é raiz e
satisfaz
o mesmo procedimento que fizemos acima.