Seja y=e^{a x}, em que \alpha é uma raiz da equação \lambda^{2}+a \lambda+b=0, \operatorname{com} a e b constantes. Verifique que
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+a \frac{d y}{d x}+b y=0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função é y=e^{\alpha x}.
  • A letra \alpha é uma raiz da equação característica \lambda^{2}+a\lambda+b=0, com a e b constantes.
    O que pede o enunciado:
  • Verificar que
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+a\frac{dy}{dx}+b y=0.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada de y. Lembre que, pela regra da cadeia, a derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)}. Aqui u(x)=\alpha x, portanto u'(x)=\alpha. Logo,
\frac{dy}{dx}=\alpha e^{\alpha x}.
Explicando: multiplicou-se a derivada do expoente \alpha pela própria exponencial.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada derivando \dfrac{dy}{dx}=\alpha e^{\alpha x}. Como \alpha é constante, aplicando novamente a regra da cadeia obtemos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\alpha\cdot\alpha e^{\alpha x}=\alpha^{2} e^{\alpha x}.
Ou seja, cada derivação traz um fator \alpha multiplicando a exponencial.

Passo 4

Substituímos \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, \dfrac{dy}{dx} e y na expressão que devemos verificar:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+a\frac{dy}{dx}+b y = \alpha^{2} e^{\alpha x} + a\bigl(\alpha e^{\alpha x}\bigr) + b\bigl(e^{\alpha x}\bigr).
Fatorando e^{\alpha x} em comum, obtemos
\alpha^{2} e^{\alpha x} + a\alpha e^{\alpha x} + b e^{\alpha x} = e^{\alpha x}\bigl(\alpha^{2}+a\alpha+b\bigr).

Passo 5

Pelo enunciado, \alpha é raiz da equação \lambda^{2}+a\lambda+b=0. Isso significa exatamente que
\alpha^{2}+a\alpha+b=0.
Substituindo esse resultado na expressão fatorada do Passo 4,
e^{\alpha x}\bigl(\alpha^{2}+a\alpha+b\bigr)=e^{\alpha x}\cdot 0 = 0.
Além disso, sabe-se que e^{\alpha x}\neq 0 para todo x, então o único motivo para o produto ser zero é o fator \alpha^{2}+a\alpha+b ser zero — o que ocorre porque \alpha é raiz. Portanto a igualdade pedida está verificada para todo x.

Passo 6

Comentário didático rápido (útil para a prova): este cálculo mostra a ideia geral usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Procura-se soluções do tipo y=e^{\lambda x}; ao substituir, aparece o factor e^{\lambda x} multiplicando o polinômio \lambda^{2}+a\lambda+b. Zerar esse polinômio (a equação característica) fornece valores de \lambda que geram soluções da equação diferencial. Exemplo numérico rápido: se a=-3 e b=2, a equação característica é \lambda^{2}-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2), logo \lambda=1 é raiz e y=e^{x} satisfaz
y''-3y'+2y=0,
o mesmo procedimento que fizemos acima.

Resposta

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+a\frac{dy}{dx}+b y=0

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