Seja y=y(r) derivável até a 2 . { }^{\mathrm{a}} ordem. Verifique que
\frac{d}{d r}\left(y^{2} \frac{d y}{d r}\right)=2 y\left(\frac{d y}{d r}\right)^{2}+y^{2} \frac{d^{2} y}{d r^{2}} .

Passo 1

O enunciado dá que y=y(r) é uma função de r diferenciável até a segunda ordem. Pede para verificar a identidade
\frac{d}{d r}\!\left(y^{2}\frac{d y}{d r}\right)=2y\left(\frac{d y}{d r}\right)^{2}+y^{2}\frac{d^{2}y}{d r^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • y depende de r.
  • y é duas vezes diferenciável, logo existem \dfrac{dy}{dr} e \dfrac{d^{2}y}{dr^{2}}.
  • Objetivo: calcular a derivada à esquerda e mostrar que é igual ao lado direito.

Passo 2

Vamos introduzir notação curta e as regras que usaremos (sem pular etapas).
  • Definições de notação:
    • y'=\dfrac{dy}{dr} e y''=\dfrac{d^{2}y}{dr^{2}}.
  • Regra do produto (para duas funções u(r) e v(r)):
\frac{d}{dr}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Explicação simples: a derivada do produto é a soma de “derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo” mais “manter o primeiro e derivar o segundo”.
  • Regra da cadeia (para uma função composta h(u(r))): se h é diferenciável e u=u(r), então
\frac{d}{dr}h(u(r))=h'(u(r))\cdot u'(r).
Exemplo concreto: se h(u)=u^{2}, então h'(u)=2u e
\frac{d}{dr}\big(u(r)^{2}\big)=2u(r)\,u'(r).

Passo 3

Aplique a regra do produto à expressão que queremos derivar, tomando
u(r)=y(r)^{2},\qquad v(r)=y'(r).
Pela regra do produto,
\frac{d}{dr}\!\left(y^{2}y'\right)=\frac{d}{dr}\big(y^{2}\big)\cdot y' + y^{2}\cdot\frac{d}{dr}\big(y'\big).
Aqui y'=\dfrac{dy}{dr} e \dfrac{d}{dr}(y')=y''.

Passo 4

Calcule \dfrac{d}{dr}\big(y^{2}\big) usando a regra da cadeia (ou o exemplo do Passo 2) com u(r)=y(r) e h(u)=u^{2}:
\frac{d}{dr}\big(y^{2}\big)=2y\cdot y'.
Substituindo na fórmula do Passo 3:
\frac{d}{dr}\!\left(y^{2}y'\right)=(2y\,y')\cdot y' + y^{2}\cdot y''.

Passo 5

Simplifique o primeiro termo multiplicando y' por y':
(2y\,y')\cdot y' = 2y\,(y')^{2}.
Portanto
\frac{d}{dr}\!\left(y^{2}y'\right)=2y\,(y')^{2}+y^{2}y'',
que é exatamente a identidade pedida. Boa — missão cumprida!

Resposta

\frac{d}{d r}\left(y^{2} \frac{d y}{d r}\right)=2 y\left(\frac{d y}{d r}\right)^{2}+y^{2} \frac{d^{2} y}{d r^{2}}.

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