Seja
derivável até a 2 .
ordem. Verifique que
Passo 1
O enunciado dá que
é uma função de
diferenciável até a segunda ordem. Pede para verificar a identidade
Informações relevantes fornecidas:
-
depende de . -
é duas vezes diferenciável, logo existem e . - Objetivo: calcular a derivada à esquerda e mostrar que é igual ao lado direito.
Passo 2
Vamos introduzir notação curta e as regras que usaremos (sem pular etapas).
- Definições de notação:
-
e .
-
- Regra do produto (para duas funções
e ):
Explicação simples: a derivada do produto é a soma de “derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo” mais “manter o primeiro e derivar o segundo”.
- Regra da cadeia (para uma função composta
): se é diferenciável e , então
Exemplo concreto: se
, então
e
Passo 3
Aplique a regra do produto à expressão que queremos derivar, tomando
Pela regra do produto,
Aqui
e
.
Passo 4
Calcule
usando a regra da cadeia (ou o exemplo do Passo 2) com
e
:
Substituindo na fórmula do Passo 3:
Passo 5
Simplifique o primeiro termo multiplicando
por
:
Portanto
que é exatamente a identidade pedida. Boa — missão cumprida!