Seja
y=x^x^x^cdots
Encontre y^prime.

Passo 1

O enunciado define a função
y = x^x^x^cdots
(infinite tetration). Para tratá-la, usamos a ideia de auto-referência: se a torre converge, ela satisfaz
y = x^y
Queremos calcular y'=dydx usando diferenciação implícita.

Passo 2

A partir de
y = x^y
tomamos logaritmo natural em ambos os lados para facilitar a derivação:
ln y = y ,ln x

Passo 3

Diferenciando em relação a x (lembrando que y=y(x)), obtemos
ddx(ln y) = ddx(yln x) ;;Longrightarrow;; y'y = y',ln x + ycdot1x

Passo 4

Reagrupando os termos que contêm y', temos
y'y - y',ln x = yx ;;Longrightarrow;; y'l(tfrac1y-ln xr) = yx

Passo 5

Isolando y', chega-mos a
y' = yx1y - ln x = yx,cdoty1 - yln x = y^2x,(1 - yln x)

Resposta

y' = y^2x,(1 - yln x)

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