Seja
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© Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
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© Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ y(t) $ no ponto $ (1, -\sqrt{\pi}) $. As funções que temos são $ y = x \cos(x^{2}) $ e $ x = \sqrt{\pi} t^{3} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar $ y $ apenas em termos de $ t $. Sabemos que $ x = \sqrt{\pi} t^{3} $, então substituímos essa expressão na fórmula de $ y $:
Simplificando o que está dentro do cosseno:
Portanto:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada $ y’(t) $, que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto desejado. Para derivar $ y(t) = \sqrt{\pi} t^{3} \cos(\pi t^{6}) $, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 4
Aplicando a regra do produto: se $ y = u \cdot v $, então $ y’ = u’v + uv’ $.
Aqui, vamos identificar:
- $ u = \sqrt{\pi} t^{3} $
- $ v = \cos(\pi t^{6}) $
Passo 5
Vamos calcular $ u’ $:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ v’ $:
Para derivar $ \cos(\pi t^{6}) $, usamos a regra da cadeia:
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ t = 1 $. Vamos substituir $ t = 1 $ na derivada $ y’(t) $:
Simplificando:
Sabemos que:
- $ \cos(\pi) = -1 $
- $ \sin(\pi) = 0 $
Então:
Passo 9
Com a inclinação $ m = -3\sqrt{\pi} $ e o ponto de tangência $ (1, -\sqrt{\pi}) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ y(t) $ no ponto $ (1, -\sqrt{\pi}) $ é: