Seja y=x cos (x^2) e x=raizpi t^3.
© Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de y(t) no ponto (1,-raizpi).

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ y(t) $ no ponto $ (1, -\sqrt{\pi}) $. As funções que temos são $ y = x \cos(x^{2}) $ e $ x = \sqrt{\pi} t^{3} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar $ y $ apenas em termos de $ t $. Sabemos que $ x = \sqrt{\pi} t^{3} $, então substituímos essa expressão na fórmula de $ y $:
y
Simplificando o que está dentro do cosseno:
t
Portanto:
x = raizpi t^3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada $ y’(t) $, que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto desejado. Para derivar $ y(t) = \sqrt{\pi} t^{3} \cos(\pi t^{6}) $, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a regra do produto: se $ y = u \cdot v $, então $ y’ = u’v + uv’ $.
Aqui, vamos identificar:
  • $ u = \sqrt{\pi} t^{3} $
  • $ v = \cos(\pi t^{6}) $

Passo 5

Vamos calcular $ u’ $:
u'

Passo 6

Agora, vamos calcular $ v’ $:
v'
Para derivar $ \cos(\pi t^{6}) $, usamos a regra da cadeia:
v = cos(pi t^6)

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
y'(t) = u'v + uv' = 3raizpi t^2 cdot cos(pi t^6) + raizpi t^3 cdot (-6pi t^5 sin(pi t^6))
Simplificando:
y'(t) = 3raizpi t^2 cos(pi t^6) - 6pi raizpi t^8 sin(pi t^6)

Passo 8

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ t = 1 $. Vamos substituir $ t = 1 $ na derivada $ y’(t) $:
t = 1
Simplificando:
t = 1
Sabemos que:
  • $ \cos(\pi) = -1 $
  • $ \sin(\pi) = 0 $
Então:
y'(t)

Passo 9

Com a inclinação $ m = -3\sqrt{\pi} $ e o ponto de tangência $ (1, -\sqrt{\pi}) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
m = -3raizpi
Substituindo os valores:
(1, -raizpi)
Simplificando:
y - y0 = m (t - t0)
y - (-raizpi) = -3raizpi (t - 1)
y + raizpi = -3raizpi t + 3raizpi

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de $ y(t) $ no ponto $ (1, -\sqrt{\pi}) $ é:
y(t)

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