Seja y=a x+b, a melhor reta que ajusta n pontos considerando o Método dos Mínimos
Quadrados. Mostre que:
a=\frac{n \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right) \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}\right)}{n \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}} ;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inclinação a da reta
y = a x + b
que melhor ajusta n pontos (x_i,y_i) pelo Método dos Mínimos Quadrados.
Vamos precisar montar a soma dos quadrados dos resíduos e então usar as condições de mínimo (derivadas parciais nulas).

Passo 2

Definimos a função objetivo como a soma dos quadrados dos resíduos:
S(a,b) \;=\;\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - a\,x_i - b\bigr)^{2}.
Para encontrar o mínimo, impomos as condições \frac{\partial S}{\partial a}=0 e \frac{\partial S}{\partial b}=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero, obtendo duas equações normais:
\sum_{i=1}^{n}x_i\,y_i \;-\;a\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \;-\;b\sum_{i=1}^{n}x_i \;=\;0,
\sum_{i=1}^{n}y_i \;-\;a\sum_{i=1}^{n}x_i \;-\;n\,b \;=\;0.

Passo 4

Da segunda equação isolamos b:
b = \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i - a\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}.
Substituímos esse b na primeira equação e multiplicamos tudo por n:
n\sum_{i=1}^{n}x_i y_i \;-\;a\,n\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \;-\;\sum_{i=1}^{n}x_i\bigl(\sum_{i=1}^{n}y_i - a\sum_{i=1}^{n}x_i\bigr) = 0.
Desenvolvendo e agrupando termos em a resulta
a\bigl[n\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \bigl(\sum_{i=1}^{n}x_i\bigr)^{2}\bigr] = n\sum_{i=1}^{n}x_i y_i \;-\;\sum_{i=1}^{n}x_i\;\sum_{i=1}^{n}y_i.

Passo 5

Isolando a obtemos
a = \frac{n\sum_{i=1}^{n}x_i y_i \;-\;\bigl(\sum_{i=1}^{n}x_i\bigr)\bigl(\sum_{i=1}^{n}y_i\bigr)}{n\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \;-\;\bigl(\sum_{i=1}^{n}x_i\bigr)^{2}}.

Resposta

a = \frac{n\sum_{i=1}^{n}x_i y_i - \bigl(\sum_{i=1}^{n}x_i\bigr)\bigl(\sum_{i=1}^{n}y_i\bigr)}{n\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \bigl(\sum_{i=1}^{n}x_i\bigr)^{2}}.

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