Dado
. Use
para provar que
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio de Newton de grau
em forma de diferenças divididas:
Queremos mostrar, no caso
, que o coeficiente do termo
é exatamente
Para isso vamos considerar
e usar a condição de interpolação em
.
Passo 2
Para
escrevemos
Como
interpola
nos pontos
e
, sabemos imediatamente
Passo 3
Usamos agora a condição de interpolação em
:
Substituindo
em
, fica
Isolando
, obtemos
Passo 4
A definição de diferença dividida de ordem 2 é
com
Fazendo a conta completa ou reconhecendo a forma do numerador acima, vemos que
Logo
.