Considerando o polinômio interpolador na forma de Newton nos pontos (a, f(a)),(b, f(b)) e ( c, f\text{(c)} ), mostre que
f[a, b, c]=\frac{(f\text{(c)}-f(b))(b-a)-(f(b)-f(a))(c-b)}{(c-b)(b-a)(c-a)}

Passo 1

O enunciado pede a diferença dividida de terceira ordem
f[a,b,c]
para o polinômio de Newton nos pontos (a,f(a)), (b,f(b)) e (c,f\text{(c)}). Vamos usar a definição recursiva de diferenças divididas:
  • as diferenças de primeira ordem
f[a,b]=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, \qquad f[b,c]=\frac{f\text{(c)}-f(b)}{c-b},
  • e a de segunda (terceira no índice)
f[a,b,c]=\frac{f[b,c]-f[a,b]}{c-a}.

Passo 2

Calcular explicitamente as diferenças de primeira ordem:
f[a,b]=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, \qquad f[b,c]=\frac{f\text{(c)}-f(b)}{c-b}.

Passo 3

Aplicar a definição de diferença dividida de ordem superior:
f[a,b,c] =\frac{f[b,c]-f[a,b]}{c-a}.

Passo 4

Substituindo e simplificando a diferença de frações:
f[b,c]-f[a,b] =\frac{f\text{(c)}-f(b)}{c-b}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} =\frac{(f\text{(c)}-f(b))(b-a)-(f(b)-f(a))(c-b)}{(c-b)(b-a)}.
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f[a,b,c] =\frac{1}{c-a}\, \frac{(f\text{(c)}-f(b))(b-a)-(f(b)-f(a))(c-b)}{(c-b)(b-a)} =\frac{(f\text{(c)}-f(b))(b-a)-(f(b)-f(a))(c-b)}{(c-b)(b-a)(c-a)}.

Resposta

f[a,b,c] =\frac{(f\text{(c)}-f(b))(b-a)-(f(b)-f(a))(c-b)}{(c-b)(b-a)(c-a)}.

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