Seja
. Encontre uma função potencial
para
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma função potencial $ f $ para o campo vetorial $ F(x, y, z) = \left(2xyz + \sin x, x^{2}z, x^{2}y\right) $. Esse tipo de problema está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e integração múltipla.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma função potencial $ f $ satisfaz $ \nabla f = F $. Ou seja, as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ devem ser iguais às componentes de $ F $. Então, temos:
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a $ x $:
Integrando termo a termo:
Aqui, $ g(y, z) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e $ z $, pois ao derivar $ f $ em relação a $ x $, a derivada de $ g $ será zero.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação $ \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2}z $. Diferenciando nossa expressão atual de $ f $ em relação a $ y $:
Para que as duas expressões sejam iguais:
Isolando $ \frac{\partial g}{\partial y} $:
Integrando em relação a $ y $:
Aqui, $ h(z) $ é uma função que depende apenas de $ z $.
Passo 5
Finalmente, vamos usar a terceira equação $ \frac{\partial f}{\partial z} = x^{2}y $. Diferenciando nossa expressão atual de $ f $ em relação a $ z $:
Simplificando:
Isolando $ \frac{dh}{dz} $:
No entanto, para que a equação faça sentido para qualquer $ x $ e $ y $, a única solução possível é que $ \frac{dh}{dz} = 0 $, ou seja, $ h(z) $ é uma constante.
Resposta
Portanto, a função potencial $ f $ é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.