Seja
uma função de duas variáveis. Definimos
como a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
.
Se
e
, determine (a)
e (b) a derivada direcional
.
Se
Passo 1
A questão pede para encontrar o gradiente de f(x,y)=x e^y no ponto (2,0) e depois usar esse gradiente para calcular a derivada direcional na direção do vetor unitário v = (-3/5,4/5). Vamos usar conceitos de derivadas parciais e produto interno.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de f. Para ∂f/∂x derivamos x e^y em relação a x, tratando e^y como constante, obtendo
Para ∂f/∂y derivamos x e^y em relação a y, mantendo x como constante e derivando e^y, obtendo
Passo 3
Avaliamos essas derivadas no ponto (2,0). Como e^0 = 1, temos
Logo o gradiente é
Passo 4
Usamos a definição de derivada direcional:
Fazendo o produto interno entre (1,2) e (-3/5,4/5):