Seja z=f(x, y) uma função de duas variáveis. Definimos
partial fpartial v(a, b)=nabla f(a, b) cdot v
como a derivada direcional de f no ponto (a, b) na direção do vetor unitário v.
Se f(x, y)=x e^y e v=(-3 / 5,4 / 5), determine (a) nabla f(2,0) e (b) a derivada direcional partial fpartial v(2,0).

Passo 1

A questão pede para encontrar o gradiente de f(x,y)=x e^y no ponto (2,0) e depois usar esse gradiente para calcular a derivada direcional na direção do vetor unitário v = (-3/5,4/5). Vamos usar conceitos de derivadas parciais e produto interno.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Para ∂f/∂x derivamos x e^y em relação a x, tratando e^y como constante, obtendo
partial fpartial x = e^y
Para ∂f/∂y derivamos x e^y em relação a y, mantendo x como constante e derivando e^y, obtendo
partial fpartial y = x e^y

Passo 3

Avaliamos essas derivadas no ponto (2,0). Como e^0 = 1, temos
partial fpartial x(2,0) = e^0 = 1, partial fpartial y(2,0) = 2e^0 = 2
Logo o gradiente é
nabla f(2,0) = (1,2)

Passo 4

Usamos a definição de derivada direcional:
partial fpartial v(2,0) = nabla f(2,0) cdot v
Fazendo o produto interno entre (1,2) e (-3/5,4/5):
1cdotl(-35r) + 2cdotl(45r) = -3+85 = 1

Resposta

nabla f(2,0) = (1,2) e partial fpartial v(2,0) = 1.

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