Use integrais duplas para calcular as áreas dos círculos r=a e r=2 a sen theta. O que dizer sobre a área na intersecção entre estes círculos?

Passo 1

A questão pede para calcular, usando integrais duplas em coordenadas polares, as áreas das regiões definidas pelas curvas r=a e r=2asintheta, e depois determinar a área de interseção. O conteúdo é integração em coordenadas polares, em que a área de uma região D é integral duplaD r,dr,dtheta.

Passo 2

Para o círculo r=a, a área é dada por
A1=integral0^2piintegral0^ar,dr,dtheta
Calculando a integral interna: integral0^ar,dr=a^2/2. Logo,
A1=integral0^2pia^22,dtheta=a^22cdot2pi=pi a^2

Passo 3

Para o círculo r=2asintheta (círculo de raio a centrado em (0,a)), a área é
A2=integral0^piintegral0^2asinthetar,dr,dtheta
A integral interna dá tfrac(2asintheta)^22=2a^2sin^2theta. Assim,
A2=2a^2integral0^pisin^2theta,dtheta=2a^2cdotpi2=pi a^2

Passo 4

Para a interseção, consideramos a região em que r<= a e r<=2asintheta. Em coordenadas polares isso é
0<=theta<=pi, 0<= r<=min(a,2asintheta)
Resolvemos onde 2asintheta=a, ou seja sintheta=1/2, em theta=pi/6 e 5pi/6. Logo,
Acap=integral0^pi/6integral0^2asinthetar,dr,dtheta +integralpi/6^5pi/6integral0^ar,dr,dtheta +integral5pi/6^piintegral0^2asinthetar,dr,dtheta

Passo 5

Agora calculamos cada parte. Para as extremas:
integral0^2asinthetar,dr=2a^2sin^2theta,
logo cada uma contribui com
2a^2integral0^pi/6sin^2theta,dtheta = a^2l(pi6-raiz34r) = a^2l(pi12-raiz38r)times2 = a^2l(pi3-raiz32r)
(soma das duas extremas). Para a parte do meio:
integral0^ar,dr=a^22, e thetain[pi/6,5pi/6]implies De
contribuindo com
a^22cdot2pi3=a^2pi3
Somando tudo,
Acap=a^2l(pi3-raiz32r)+a^2pi3 = a^2l(2pi3-raiz32r) =4pi-3raiz36,a^2

Resposta

Área do círculo r=a: pi a^2. Área do círculo r=2asintheta: pi a^2. Área da interseção: dfrac4pi-3raiz36,a^2.

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