Use integrais duplas para calcular as áreas dos círculos
e
. O que dizer sobre a área na intersecção entre estes círculos?
Passo 1
A questão pede para calcular, usando integrais duplas em coordenadas polares, as áreas das regiões definidas pelas curvas
e
, e depois determinar a área de interseção. O conteúdo é integração em coordenadas polares, em que a área de uma região
é
.
Passo 2
Para o círculo
, a área é dada por
Calculando a integral interna:
. Logo,
Passo 3
Para o círculo
(círculo de raio
centrado em
), a área é
A integral interna dá
. Assim,
Passo 4
Para a interseção, consideramos a região em que
e
. Em coordenadas polares isso é
Resolvemos onde
, ou seja
, em
e
. Logo,
Passo 5
Agora calculamos cada parte. Para as extremas:
logo cada uma contribui com
(soma das duas extremas). Para a parte do meio:
contribuindo com
Somando tudo,
Resposta
Área do círculo
:
. Área do círculo
:
. Área da interseção:
.