Decida se cada uma das integrais impróprias abaixo é convergente ou divergente.
integral1^+infty arctan x1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria integral1^+infty arctan x1+x^2,dx é convergente ou divergente. O conteúdo envolve integrais impróprias e técnicas de integração que ajudam a analisar o comportamento no infinito.

Passo 2

Como o limite superior é infinito, reescrevemos a integral como um limite: integral1^+infty arctan x1+x^2,dx = limtto+infty integral1^t arctan x1+x^2,dx Para encontrar uma primitiva, note que se fizermos u = arctan x, então du = 11+x^2,dx. Assim, arctan x1+x^2,dx = u,du, cuja antiderivada é tfrac12u^2. Voltando à variável x, obtemos uma primitiva: F(x) = 12l(arctan xr)^2 + C

Passo 3

Agora avaliamos o limite: limtto+infty l[F(t) - F(1)r] = limtto+infty 12l(arctan tr)^2 - 12l(arctan 1r)^2 Como limtto+inftyarctan t = pi2 e arctan 1 = pi4, temos
12l(l(tfracpi2r)^2 - l(tfracpi4r)^2r) = 12l(pi^24 - pi^216r) = 12 cdot 3pi^216 = 3pi^232, que é finito.

Passo 4

Como o valor do limite é finito, concluímos que a integral imprópria converge.

Resposta

A integral é convergente (seu valor é tfrac3pi^232).

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