Exercícios 10.2
2. Seja f(x, y, z)=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Verifique que
x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=-f .

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z) = -\frac{x}{x^2 + y^2 + z^2}
e pede para mostrar que
x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} = -\,f.
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e uso da regra do quociente.

Passo 2

Vamos calcular \frac{\partial f}{\partial x} aplicando a regra do quociente a
f = -\frac{x}{R},\quad\text{onde }R = x^2 + y^2 + z^2.
Temos
\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{R \cdot 1 - x \cdot \frac{\partial R}{\partial x}}{R^2} = -\frac{R - x\cdot(2x)}{R^2} = -\frac{x^2 + y^2 + z^2 - 2x^2}{R^2} = -\frac{-x^2 + y^2 + z^2}{R^2} = \frac{x^2 - y^2 - z^2}{R^2}.

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z} note que o numerador só depende de x, logo ao derivar em relação a y temos
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{0\cdot R - x\cdot\frac{\partial R}{\partial y}}{R^2} = -\Bigl(-x\cdot\frac{2y}{R^2}\Bigr) = \frac{2xy}{R^2},
e analogamente
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{2xz}{R^2}.

Passo 4

Agora formamos
x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} = x\frac{x^2 - y^2 - z^2}{R^2} + y\frac{2xy}{R^2} + z\frac{2xz}{R^2}.
Somando termos sobre o mesmo denominador,
=\frac{x^3 - xy^2 - xz^2 + 2xy^2 + 2xz^2}{R^2} =\frac{x^3 + xy^2 + xz^2}{R^2} =\frac{x\,(x^2 + y^2 + z^2)}{R^2} =\frac{x\,R}{R^2} =\frac{x}{R}.

Passo 5

Como \frac{x}{R} = -\,f(x,y,z) (pela definição de f), concluímos
x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} = -\,f.

Resposta

A identidade está verificada:
x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} = -\,f.

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