Seja
um número complexo dado pelo par ordenado
.
Mostre que: (a)
, para
inteiro; e (b)
.
Mostre que: (a)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar duas identidades com exponencial complexa: (a) , para
inteiro; e (b) . O assunto é a Fórmula de Euler, que diz que
Para resolver a gente vai usar essa fórmula e também as propriedades de seno e cosseno em ângulos especiais.
Passo 2
Primeiro lembra da Fórmula de Euler:
Isso significa que avaliar é só calcular os trigonométricos em
.
Passo 3
Agora fazemos o item (a):
. Então pela fórmula de Euler:
Sabendo que para todo inteiro
:
aí já dá:
Passo 4
Agora o item (b):
. Pela mesma fórmula:
E sabemos dos valores trigonométricos conhecidos:
Logo
Resposta
(a) .
(b) .
(b) .