Seja z um número complexo dado pelo par ordenado z=(x, y)=x+i y.
Mostre que: (a) e^i(2 n+1) pi=-1, para n=> inteiro; e (b) e^i pi / 2=i.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar duas identidades com exponencial complexa: (a) , para e^itheta=costheta + isintheta inteiro; e (b) . O assunto é a Fórmula de Euler, que diz que
Para resolver a gente vai usar essa fórmula e também as propriedades de seno e cosseno em ângulos especiais.

Passo 2

Primeiro lembra da Fórmula de Euler:
Isso significa que avaliar é só calcular os trigonométricos em e^itheta=costheta+isintheta .

Passo 3

Agora fazemos o item (a): e^i(2n+1)pi =cosl((2n+1)pir)+i,sinl((2n+1)pir) . Então pela fórmula de Euler:
Sabendo que para todo inteiro cosl((2n+1)pir)=cos(pi+2npi)=-1, sinl((2n+1)pir)=0, :
e^i(2n+1)pi=-1+ icdot 0=-1
aí já dá:

Passo 4

Agora o item (b): e^i(pi/2)=cosl(tfracpi2r)+i,sinl(tfracpi2r) . Pela mesma fórmula:
E sabemos dos valores trigonométricos conhecidos:
cosl(tfracpi2r)=0, sinl(tfracpi2r)=1
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Resposta

(a) .
(b) .

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