Seja
um número complexo dado pelo par ordenado
.
Mostre que: (a) Para o módulo de z que,
. (b) Para a fase de
(
).
Mostre que: (a) Para o módulo de z que,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre o número complexo
Conteúdo da matéria: definição de módulo e de fase (argumento) de um número complexo.
O que a gente vai usar:
O que a gente vai usar:
- Conjugado de
, que é . - Produto
. - Definição de módulo:
. - Definição de argumento:
é o ângulo que faz com o eixo real, pago-pag.
Passo 2
Vamos mostrar a parte (a):
Queremos provar que
Queremos provar que
- Primeiro, calcule
:
porque
e
.
- Então
- Por definição de módulo, a gente define
Logo
Pronto, parte (a) feita.
Passo 3
Agora a parte (b): phase (argumento)
.
Geometricamente, no plano complexo , o ponto forma um triângulo retângulo com o eixo real.
Geometricamente, no plano complexo
- Cateto “adjacente” =
. - Cateto “oposto” =
. - Ângulo entre o vetor e o eixo real =
.
Pelo triângulo,
Logo
Isso vale quando
; nos demais quadrantes a gente ajusta
somando/subtraindo
, mas a forma principal é essa.
Resposta
a)
b)
b)