Seja z um número complexo dado pelo par ordenado z=(x, y)=x+i y.
Mostre que: (a) Para o módulo de z que, r=|z|=(x^2+y^2)^1 / 2=(zz)^* / 2. (b) Para a fase de z, theta=arc tg ( y / x ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o número complexo
z = (x,y) = x + i,y
Conteúdo da matéria: definição de módulo e de fase (argumento) de um número complexo.
O que a gente vai usar:
  • Conjugado de , que é .
  • Produto .
  • Definição de módulo: .
  • Definição de argumento: é o ângulo que faz com o eixo real, pago-pag.

Passo 2

Vamos mostrar a parte (a):
Queremos provar que
r = |z| = raizx^2 + y^2 = (z,z^*)^1/2
  1. Primeiro, calcule z,z^* = (x + i y),(x - i y) = x^2 - i x y + i x y - i^2 y^2 = x^2 + y^2 :
z,z^* = x^2 + y^2
porque |z| = raizx^2 + y^2 e |z| = raizz,z^* = (z,z^*)^1/2 .
  1. Então
  1. Por definição de módulo, a gente define
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Pronto, parte (a) feita.

Passo 3

Agora a parte (b): phase (argumento) tan(theta) = opostoadjacente = yx .
Geometricamente, no plano complexo theta = arctan!l(tfracyxr) , o ponto forma um triângulo retângulo com o eixo real.
  • Cateto “adjacente” = .
  • Cateto “oposto” = .
  • Ângulo entre o vetor e o eixo real = .
Pelo triângulo,
Logo
Isso vale quando ; nos demais quadrantes a gente ajusta somando/subtraindo , mas a forma principal é essa.

Resposta

a)
b)

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