Seja z um número complexo dado pelo par ordenado z=(x, y)=x+i y.
Demonstre a Fórmula de De Moivre: e^in theta=(cos theta+i sen theta)^n

Passo 1

Tranquilo, vamos provar que
Isso é teoria de número complexo e exponencial complexa.
O que vamos precisar:
  1. Definição de e^i n theta ;=;(costheta + isentheta)^n para complexo via série de potências;
  2. Definição de e também por série;
  3. A propriedade de exponenciais .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de potências para e^z ;=;sumk=0^inftyz^kk! é
e^itheta =sumk=0^infty(itheta)^kk! =summ=0^infty(itheta)^2m(2m)! +summ=0^infty(itheta)^2m+1(2m+1)!
Se colocarmos summ=0^infty(-1)^mtheta^2m(2m)!=costheta, summ=0^infty(-1)^mtheta^2m+1(2m+1)!=sentheta , fica
e^itheta=costheta + isentheta,
Agora note que
e

Logo as duas somas viram as séries de e :
Portanto
que é a famosa fórmula de Euler.

Passo 3

Agora usamos a propriedade de exponenciais de somas:
l(e^ithetar)^n =e^itheta,timescdotstimes e^itheta =e^itheta + itheta + cdots + itheta =e^i,ntheta
Mas como , temos

Resposta

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