Seja
um número complexo dado pelo par ordenado
.
Demonstre a Fórmula de De Moivre:
Demonstre a Fórmula de De Moivre:
Passo 1
Tranquilo, vamos provar que
Isso é teoria de número complexo e exponencial complexa.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definição de
para complexo via série de potências; - Definição de
e também por série; - A propriedade de exponenciais
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série de potências para
é
Se colocarmos
, fica
Agora note que
e
Logo as duas somas viram as séries de e :
Logo as duas somas viram as séries de
Portanto
que é a famosa fórmula de Euler.
Passo 3
Agora usamos a propriedade de exponenciais de somas:
Mas como , temos