Seja z um número complexo dado pelo par ordenado z=(x, y)=x+i y.
Mostre que: (a) z^n=r^n(cos n theta+i sen n theta); (b) z^-n=r^-n(cos (-n theta)+i sen(-n theta)); © z^1 / n=r^1 / n(cos theta / n +i sen theta / n) ;(d) ln z=ln r+i(theta+2 pi n).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um número complexo
z = x + i,y
que também escrevemos em forma polar como
onde
z = r(costheta + isentheta),,
O que a questão pede é mostrar quatro fórmulas clássicas de números complexos em forma polar:
(a) a fórmula de Moivre para r = |z| = raizx^2 + y^2etheta = arg(z),
(b) a extensão pra expoente negativo ,
© a expressão da raiz -ésima e
(d) o logaritmo complexo .
Para resolver tudo isso, a gente vai usar:
  1. a definição de exponencial complexa e a fórmula de Euler
    ,
  2. propriedades de potências e radicais em exponenciais,
  3. definição de logaritmo como inversa de exponenciação.

Passo 2

Parte (a): mostrar que
Como , pela fórmula de Euler a gente reescreve
z^n = r^nl(cos(ntheta) + isen(ntheta)r)
Agora, elevando aos dois lados à potência z = r,e^itheta :
z^n = l(r,e^ithetar)^n = r^n,l(e^ithetar)^n
Pela propriedade do exponencial, z^n = r^n,e^i ntheta . Então
e^i ntheta = cos(ntheta) + isen(ntheta)
De novo usando Euler:
Juntando tudo:

Passo 3

Parte (b): mostrar que
A ideia é igualzinha, só que agora o expoente é z^-n = r^-nl(cos(-ntheta) + isen(-ntheta)r) . Partindo de z^-n = l(r,e^ithetar)^-n = r^-n,l(e^ithetar)^-n = r^-n,e^-i ntheta :
e^-i ntheta = cos(-ntheta) + isen(-ntheta),
E como
ficamos com

Passo 4

Parte ©: mostrar que
De novo, escrevemos z^1/n = r^1/nl(cos(tfractheta n) + isen(tfractheta n)r) e tiramos a raiz z^1/n = l(r,e^ithetar)^1/n = r^1/n,l(e^ithetar)^1/n = r^1/n,e^itheta/n -ésima, ou seja, o expoente e^i(theta/n) = cos!l(tfractheta nr) + isen!l(tfractheta nr), :
boxedz^1/n = r^1/nl(cos(tfractheta n) + isen(tfractheta n)r)
Aplicando Euler em :
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Passo 5

Parte (d): mostrar que
ln z = ln r + il(theta + 2pi nr)
Por definição de logaritmo complexo, se ln z = lnl(r,e^ithetar) = ln r + lnl(e^ithetar) então
lnl(e^ithetar) = i(theta + 2pi n), nin Z
Como boxedln z = ln r + il(theta + 2pi nr) , mas lembrando que o argumento é ambíguo de em , a gente escreve
Então

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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