Seja
um número complexo dado pelo par ordenado
.
Mostre que: (a)
; (b)
; ©
.
Mostre que: (a)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um número complexo
que também escrevemos em forma polar como
onde
O que a questão pede é mostrar quatro fórmulas clássicas de números complexos em forma polar:
(a) a fórmula de Moivre para ,
(b) a extensão pra expoente negativo ,
© a expressão da raiz -ésima
e
(d) o logaritmo complexo .
Para resolver tudo isso, a gente vai usar:
(a) a fórmula de Moivre para
(b) a extensão pra expoente negativo
© a expressão da raiz
(d) o logaritmo complexo
Para resolver tudo isso, a gente vai usar:
- a definição de exponencial complexa e a fórmula de Euler
, - propriedades de potências e radicais em exponenciais,
- definição de logaritmo como inversa de exponenciação.
Passo 2
Parte (a): mostrar que
Como , pela fórmula de Euler a gente reescreve
Agora, elevando aos dois lados à potência
:
Pela propriedade do exponencial,
. Então
De novo usando Euler:
Juntando tudo:
Passo 3
Parte (b): mostrar que
A ideia é igualzinha, só que agora o expoente é
. Partindo de
:
E como
ficamos com
Passo 4
Parte ©: mostrar que
De novo, escrevemos
e tiramos a raiz
-ésima, ou seja, o expoente
:
Aplicando Euler em
:
logo
Passo 5
Parte (d): mostrar que
Por definição de logaritmo complexo, se
então
Como
, mas lembrando que o argumento
é ambíguo de
em
, a gente escreve
Então
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)