Seja z um número complexo dado pelo par ordenado z=(x, y)=x+i y.
Calcular ^i theta para: theta=0 ; theta=pi / 2 ; theta=pi ; theta=3 pi / 2 ; theta=2 pi; portanto f(z)=e^i theta é uma função periódica com período igual a 2 pi (Resp: 1 ; i ;-1 ;-i ; 1 ).

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: queremos calcular a função
f(z)=e^itheta
para os ângulos
theta=0,;pi2,;pi,;3pi2,;2pi
Isso faz parte da matéria de números complexos, mais precisamente da fórmula de Euler. Para resolver, a gente vai usar o teorema de Euler que diz
e^itheta = costheta + isintheta
e também os valores de seno e cosseno nos ângulos notáveis.

Passo 2

Aplicando Euler em e^icdot 0 = cos(0) + isin(0) :
e^icdot0 = 1 + icdot 0 = 1
Sabemos que e . Então

Passo 3

Agora e^ipi2 = cos!l(tfracpi2r) + isin!l(tfracpi2r) :
e^ipi2 = 0 + icdot1 = i
Como e , vem

Passo 4

Para e^ipi = cos(pi) + isin(pi) :
e^ipi = -1 + icdot0 = -1
E , , logo

Passo 5

No caso e^i3pi2 = cos!l(tfrac3pi2r) + isin!l(tfrac3pi2r) :
e^i3pi2 = 0 + icdot(-1) = -,i
e . Então

Passo 6

Por fim, e^i,2pi = cos(2pi) + isin(2pi) :
e^i,2pi = 1 + icdot0 = 1
Sabendo que e , resulta

Resposta

Os valores de são, nessa ordem:

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