Considere uma função de onda unidimensional que é descrita por no intervalo e nula para qualquer outro valor de x. Para o caso em que temos os valores e , qual é a constante de normalização (A) desta função de onda?
Observação: A constante de normalização A é adimensional.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda unidimensional dada por:
Essa função é válida no intervalo e é zero fora desse intervalo. Precisamos encontrar a constante de normalização quando e .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Isso envolve calcular a integral de sobre todo o espaço e igualar a 1.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a condição de normalização:
Mas sabemos que é diferente de zero apenas no intervalo . Portanto, a integral fica restrita a esse intervalo:
Passo 3
Substituímos na integral:
Simplificando o integrando:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 5
Calculando nos limites superiores e inferiores:
Para :
Simplificando:
Para , o resultado será negativo, então ao subtrair, teremos:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral na condição de normalização:
A^2 cdot 4alpha raizalphabeta3 = 1
Resolvendo para A^2:
A^2 = 34alpha raizalphabeta
Passo 7
Tomamos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar A:
A = raiz34alpha raizalphabeta
Simplificando:
A = raiz32 alpha^1/2 (alphabeta)^1/4
Passo 8
Agora, substituímos os valores dados: alpha = 11,2 e beta = 10,1 , m^-2: