Considere uma função de onda unidimensional que é descrita por psi(x)=A raizalpha-beta x^2 no intervalo -raizalphabeta <= x <=+raizalphabeta e nula para qualquer outro valor de x. Para o caso em que temos os valores alpha=11,2 e beta=10,1 m^-2, qual é a constante de normalização (A) desta função de onda?
Observação: A constante de normalização A é adimensional.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda unidimensional dada por:
psi(x) = A raizalpha - beta x^2
Essa função é válida no intervalo -raizalphabeta <= x <= raizalphabeta e é zero fora desse intervalo. Precisamos encontrar a constante de normalização A quando alpha = 11,2 e beta = 10,1 , m^-2.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Isso envolve calcular a integral de |psi(x)|^2 sobre todo o espaço e igualar a 1.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a condição de normalização:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 dx = 1
Mas sabemos que psi(x) é diferente de zero apenas no intervalo -raizalphabeta <= x <= raizalphabeta. Portanto, a integral fica restrita a esse intervalo:
integral-raizalphabeta^+raizalphabeta |psi(x)|^2 dx = 1

Passo 3

Substituímos psi(x) na integral:
integral-raizalphabeta^+raizalphabeta (A raizalpha - beta x^2)^2 dx = 1
Simplificando o integrando:
A^2 integral-raizalphabeta^+raizalphabeta (alpha - beta x^2) dx = 1

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral (alpha - beta x^2) dx = alpha x - beta x^33 + C
Agora, aplicamos os limites de integração:
[ alpha x - beta x^33 ]-raizalphabeta^+raizalphabeta

Passo 5

Calculando nos limites superiores e inferiores:
Para x = +raizalphabeta:
alpha raizalphabeta - beta (raizalphabeta)^33 = alpha raizalphabeta - beta alpha^3/2beta^3/2 cdot 3 = alpha raizalphabeta - alpha^3/2beta^1/2 cdot 3
Simplificando:
alpha raizalphabeta - alpha^3/23 beta^1/2 = 3alpha raizalphabeta - alpha raizalphabeta3 = 2alpha raizalphabeta3
Para x = -raizalphabeta, o resultado será negativo, então ao subtrair, teremos:
2alpha raizalphabeta3 - (-2alpha raizalphabeta3) = 4alpha raizalphabeta3

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral na condição de normalização:
A^2 cdot 4alpha raizalphabeta3 = 1
Resolvendo para A^2:
A^2 = 34alpha raizalphabeta

Passo 7

Tomamos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar A:
A = raiz34alpha raizalphabeta
Simplificando:
A = raiz32 alpha^1/2 (alphabeta)^1/4

Passo 8

Agora, substituímos os valores dados: alpha = 11,2 e beta = 10,1 , m^-2:
A = raiz32 cdot raiz11,2 cdot (11,210,1)^1/4
Calculando os termos:
raiz11,2 approx 3,346
11,210,1 approx 1,1089
(1,1089)^1/4 approx 1,026
Substituindo:
A approx 1,7322 cdot 3,346 cdot 1,026 approx 1,7326,872 approx 0,252

Resposta

A constante de normalização é aproximadamente A approx 0,252.

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