Seja z=raizx+y^13. Calcule o gradiente e a diferencial de z no ponto (1,8).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e queremos calcular o gradiente e a diferencial dessa função no ponto .
Matéria envolvida:
  • Gradiente de uma função
  • Diferencial de uma função
O que precisamos:
  • Entender como calcular derivadas parciais
  • Saber montar o gradiente a partir das derivadas
  • Calcular a diferencial usando o gradiente

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis, como nabla z = ( partial zpartial x, partial zpartial y ) , é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Ele aponta na direção de maior crescimento da função.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = partialpartial x ( raizx + y^13 ) = 12raizx em relação a partial zpartial y = partialpartial y ( raizx + y^13 ) = 13 y^-23 e .
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos o ponto partial zpartial x = 12raiz1 = 12 nas derivadas parciais para encontrar o gradiente nesse ponto.
Calculando partial zpartial y = 13 cdot 8^-23 = 13 cdot ( 8^13 )^-2 = 13 cdot 2^-2 = 13 cdot 14 = 112 em :
Calculando em :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, montamos o gradiente no ponto nabla z = ( 12, 112 ) :

Passo 6

Agora, vamos calcular a diferencial de dz = partial zpartial x dx + partial zpartial y dy no ponto dz = 12 dx + 112 dy . A diferencial é dada por:
Substituindo os valores das derivadas parciais:

Resposta

O gradiente de no ponto é e a diferencial é .

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