Seja
. Calcule o gradiente e a diferencial de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e queremos calcular o gradiente e a diferencial dessa função no ponto
.
Matéria envolvida:
- Gradiente de uma função
- Diferencial de uma função
O que precisamos:
- Entender como calcular derivadas parciais
- Saber montar o gradiente a partir das derivadas
- Calcular a diferencial usando o gradiente
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis, como
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Ele aponta na direção de maior crescimento da função.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos o ponto
nas derivadas parciais para encontrar o gradiente nesse ponto.
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, montamos o gradiente no ponto
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a diferencial de
no ponto
. A diferencial
é dada por:
Substituindo os valores das derivadas parciais:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
e a diferencial é
.