Seja z=z(x, y) é uma função nas variáveis x e y, dada implicitamente pela equação F(x, y, z)=0, onde F é uma função nas variáveis x, y e z diferenciável e sejam ( x0, y0 ) um ponto no qual a função z é diferenciável e z0=z(x0, y0).
Escreva a equação geral do plano tangente ao gráfico de z=z(x, y) no ponto (x0, y0, z0), evidenciando o vetor normal utilizado para tal.

Passo 1

O exercício pede a equação do plano tangente ao gráfico de uma função definida implicitamente por F(x,y,z)=0. A ideia é usar que nesse ponto (x₀,y₀,z₀) a superfície é diferenciável, e vamos precisar do gradiente de F para achar o normal ao plano.

Passo 2

Pela teoria de superfícies implícitas, o vetor normal à superfície F(x,y,z)=0 em (x₀,y₀,z₀) é dado pelo gradiente de F naquele ponto. Definimos
nabla F(x,y,z)=l(Fx(x,y,z),,Fy(x,y,z),,Fz(x,y,z)r)
Então em (x₀,y₀,z₀) temos
n=nabla F(x₀,y₀,z₀)=l(Fx(x₀,y₀,z₀),,Fy(x₀,y₀,z₀),,Fz(x₀,y₀,z₀)r)

Passo 3

Para escrever a equação do plano tangente, usamos que um plano com normal n passando por P₀=(x₀,y₀,z₀) satisfaz
ncdotl((x,y,z)-(x₀,y₀,z₀)r)=0
Substituindo as componentes, obtemos a forma explícita do plano tangente: -

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