Seja
é uma função nas variáveis
e
, dada implicitamente pela equação
, onde
é uma função nas variáveis
e
diferenciável e sejam (
) um ponto no qual a função
é diferenciável e
.
Escreva a equação geral do plano tangente ao gráfico de
no ponto
, evidenciando o vetor normal utilizado para tal.
Escreva a equação geral do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O exercício pede a equação do plano tangente ao gráfico de uma função definida implicitamente por F(x,y,z)=0. A ideia é usar que nesse ponto (x₀,y₀,z₀) a superfície é diferenciável, e vamos precisar do gradiente de F para achar o normal ao plano.
Passo 2
Pela teoria de superfícies implícitas, o vetor normal à superfície F(x,y,z)=0 em (x₀,y₀,z₀) é dado pelo gradiente de F naquele ponto. Definimos
Então em (x₀,y₀,z₀) temos
Passo 3
Para escrever a equação do plano tangente, usamos que um plano com normal n passando por P₀=(x₀,y₀,z₀) satisfaz
Substituindo as componentes, obtemos a forma explícita do plano tangente: -