Seja
é uma função nas variáveis
e
, dada implicitamente pela equação
, onde
é uma função nas variáveis
e
diferenciável e sejam (
) um ponto no qual a função
é diferenciável e
.
Verifique que
é ortogonal plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Verifique que
Passo 1
O enunciado dá uma função definida implicitamente por F(x,y,z)=0 e pede para mostrar que o vetor gradiente ∇F(x₀,y₀,z₀) é ortogonal ao plano tangente ao gráfico de z=z(x,y) em (x₀,y₀,z₀). Vamos usar diferenciação implícita e a descrição geométrica do plano tangente.
Passo 2
Como F(x,y,z(x,y))≡0 ao longo do gráfico, aplicamos a regra da cadeia diferenciando em relação a x. Chamando ∂F/∂x de F_x e ∂F/∂z de F_z, obtemos:
De modo análogo, diferenciando em relação a y e chamando ∂F/∂y de F_y, temos:
Passo 3
O plano tangente ao gráfico em (x₀,y₀,z₀) é gerado pelos vetores tangentes nas direções x e y, dados por:
Passo 4
Para ver que ∇F(x₀,y₀,z₀) é ortogonal a esses vetores, basta calcular os produtos internos:
Como ∇F(x₀,y₀,z₀) tem produto interno nulo com uma base do plano tangente, ele é ortogonal a todo o plano tangente.
Resposta
O vetor ∇F(x₀,y₀,z₀) é normal (ortogonal) ao plano tangente ao gráfico de z=z(x,y) em (x₀,y₀,z₀).