Seja z=z(x, y) é uma função nas variáveis x e y, dada implicitamente pela equação F(x, y, z)=0, onde F é uma função nas variáveis x, y e z diferenciável e sejam ( x0, y0 ) um ponto no qual a função z é diferenciável e z0=z(x0, y0).
Verifique que nabla F(x0, y0, z0) é ortogonal plano tangente ao gráfico de z=z(x, y) no ponto (x0, y0, z0).

Passo 1

O enunciado dá uma função definida implicitamente por F(x,y,z)=0 e pede para mostrar que o vetor gradiente ∇F(x₀,y₀,z₀) é ortogonal ao plano tangente ao gráfico de z=z(x,y) em (x₀,y₀,z₀). Vamos usar diferenciação implícita e a descrição geométrica do plano tangente.

Passo 2

Como F(x,y,z(x,y))≡0 ao longo do gráfico, aplicamos a regra da cadeia diferenciando em relação a x. Chamando ∂F/∂x de F_x e ∂F/∂z de F_z, obtemos:
Fx(x,y,z) + Fz(x,y,z),zx(x,y) = 0
De modo análogo, diferenciando em relação a y e chamando ∂F/∂y de F_y, temos:
Fy(x,y,z) + Fz(x,y,z),zy(x,y) = 0

Passo 3

O plano tangente ao gráfico em (x₀,y₀,z₀) é gerado pelos vetores tangentes nas direções x e y, dados por:
vx = (1,0,zx(x₀,y₀)), vy = (0,1,zy(x₀,y₀))

Passo 4

Para ver que ∇F(x₀,y₀,z₀) é ortogonal a esses vetores, basta calcular os produtos internos:
∇F cdot vx = Fx + Fz,zx = 0, ∇F cdot vy = Fy + Fz,zy = 0
Como ∇F(x₀,y₀,z₀) tem produto interno nulo com uma base do plano tangente, ele é ortogonal a todo o plano tangente.

Resposta

O vetor ∇F(x₀,y₀,z₀) é normal (ortogonal) ao plano tangente ao gráfico de z=z(x,y) em (x₀,y₀,z₀).

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