Quais das séries nos exercícios 1-30 convergem equais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando suas respostas, lembre-se de que pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
sumn=1^infty 2^n3^n

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=1^infty2^n3^n. O conteúdo envolvido é o estudo de séries numéricas, em particular as séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser reescrito como
2^n3^n=l(tfrac23r)^n
ou seja, trata-se de uma série geométrica cuja razão é r=2/3 e cujo primeiro termo (para n=1) é a=2/3.

Passo 3

A condição de convergência de uma série geométrica sumn=1^infty a,r^n-1 é |r|<1, e nessa situação sua soma é dada por
sumn=1^infty a,r^n-1=a1-r

Passo 4

Aqui temos |r|=2/3<1, logo a série converge. Para ajustar à fórmula, note que nosso termo geral é a,r^n-1 com a=2/3 e r=2/3, então a soma vale
a1-r=tfrac231-tfrac23=2/31/3=2

Resposta

A série converge e seu valor total é 2.

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