Considere as superfícies
z=x^{2}+y^{2} \quad \text { e } \quad x+y+z=6
A interseção dessas duas superfícies determina uma curva no espaço. Determine as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto ( 0,2,4 ).

Passo 1

O enunciado nos dá duas superfícies e um ponto de interseção:
  • Superfície 1: \;z=x^{2}+y^{2}.
  • Superfície 2: \;x+y+z=6.
  • O ponto sobre a curva de interseção é \;(0,2,4).
O que se pede: determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva interseção das duas superfícies no ponto \;(0,2,4).

Passo 2

Ideia-chave (explicada devagarinho): a curva de interseção é o conjunto de pontos que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Em cada ponto dessa curva existe uma reta tangente — ela está contida nos dois planos tangentes às superfícies naquele ponto. Cada plano tangente tem uma normal que é o gradiente da função que define a superfície; a reta tangente terá direção perpendicular a essas duas normais. Logo, para encontrar a direção da reta tangente basta calcular o produto vetorial (cross product) entre os dois vetores normais. Vou mostrar o que é cada passo e por quê.
Explicação sobre gradiente (passo-a-passo): se uma superfície é dada por uma equação F(x,y,z)=0, então o vetor
\displaystyle \nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)
é um vetor normal ao plano tangente da superfície em qualquer ponto. Cada componente é a derivada parcial em relação àquela coordenada — isto mede como F muda se variarmos só x, só y ou só z.

Passo 3

Defino funções que representam as superfícies na forma F=0, para aplicar o gradiente de forma direta:
  • Para a primeira superfície tomo \;F_1(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z. Assim a superfície é \;F_1(x,y,z)=0.
  • Para a segunda tomo \;F_2(x,y,z)=x+y+z-6.
Agora calculo os gradientes (lembre: cada componente é uma derivada parcial):
\displaystyle \nabla F_1(x,y,z)=\left(\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}-z),\;\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}-z),\;\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}+y^{2}-z)\right)=\left(2x,\,2y,\,-1\right).
\displaystyle \nabla F_2(x,y,z)=\left(\frac{\partial}{\partial x}(x+y+z-6),\;\frac{\partial}{\partial y}(\cdots),\;\frac{\partial}{\partial z}(\cdots)\right)=\left(1,\,1,\,1\right).
Avalio esses vetores no ponto dado \;(0,2,4):
\displaystyle \nabla F_1(0,2,4)=\left(2\cdot0,\,2\cdot2,\,-1\right)=\left(0,\,4,\,-1\right).
\displaystyle \nabla F_2(0,2,4)=\left(1,\,1,\,1\right).

Passo 4

Agora a direção da reta tangente é um vetor v ortogonal a ambos os normais \nabla F_1 e \nabla F_2. O produto vetorial dá exatamente isso: v=\nabla F_1\times\nabla F_2.
Explicando o produto vetorial: se a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), então
\displaystyle a\times b=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}
que dá um vetor cujas componentes podem ser calculadas pelas menores correspondentes.
Aplico com \;a=\nabla F_1(0,2,4)=(0,4,-1) e \;b=\nabla F_2(0,2,4)=(1,1,1):
Faço o cálculo componente a componente:
\begin{aligned} v_x & = \det\begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=4\cdot1-(-1)\cdot1=4+1=5,\\[4pt] v_y & = -\det\begin{pmatrix}0 & -1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=-(0\cdot1-(-1)\cdot1)=-(0+1)=-1,\\[4pt] v_z & = \det\begin{pmatrix}0 & 4 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-4\cdot1=-4. \end{aligned}
Portanto
\displaystyle v=\nabla F_1(0,2,4)\times\nabla F_2(0,2,4)=(5,\,-1,\,-4).]

Passo 5

Verificação rápida (importante na prova): um vetor tangente deve ser ortogonal a cada normal. Calculo os produtos escalares:
\displaystyle \nabla F_1(0,2,4)\cdot v = (0,4,-1)\cdot(5,-1,-4)=0\cdot5+4\cdot(-1)+(-1)\cdot(-4)=-4+4=0.
\displaystyle \nabla F_2(0,2,4)\cdot v = (1,1,1)\cdot(5,-1,-4)=5-1-4=0.
Ambos dão zero, então v está correto: é simultaneamente perpendicular aos dois normais, portanto é direção da reta tangente.

Passo 6

Equação vetorial e paramétrica da reta: a reta tangente que passa por \;P_0=(0,2,4) com direção v=(5,-1,-4) tem equação vetorial
\displaystyle \ell(t)=P_0+t\,v=(0,2,4)+t(5,-1,-4),\qquad t\in\mathbb{R}.
Escrevendo em equações paramétricas (uma forma prática para a prova):
\displaystyle x=5t,\qquad y=2-t,\qquad z=4-4t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

x=5t
y=2-t
z=4-4t

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