A interseção dessas duas superfícies determina uma curva no espaço. Determine as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto ( 0,2,4 ).
Passo 1
O enunciado nos dá duas superfícies e um ponto de interseção:
Superfície 1: \;z=x^{2}+y^{2}.
Superfície 2: \;x+y+z=6.
O ponto sobre a curva de interseção é \;(0,2,4).
O que se pede: determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva interseção das duas superfícies no ponto \;(0,2,4).
Passo 2
Ideia-chave (explicada devagarinho): a curva de interseção é o conjunto de pontos que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Em cada ponto dessa curva existe uma reta tangente — ela está contida nos dois planos tangentes às superfícies naquele ponto. Cada plano tangente tem uma normal que é o gradiente da função que define a superfície; a reta tangente terá direção perpendicular a essas duas normais. Logo, para encontrar a direção da reta tangente basta calcular o produto vetorial (cross product) entre os dois vetores normais. Vou mostrar o que é cada passo e por quê.
Explicação sobre gradiente (passo-a-passo): se uma superfície é dada por uma equação F(x,y,z)=0, então o vetor
é um vetor normal ao plano tangente da superfície em qualquer ponto. Cada componente é a derivada parcial em relação àquela coordenada — isto mede como F muda se variarmos só x, só y ou só z.
Passo 3
Defino funções que representam as superfícies na forma F=0, para aplicar o gradiente de forma direta:
Para a primeira superfície tomo \;F_1(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z. Assim a superfície é \;F_1(x,y,z)=0.
Para a segunda tomo \;F_2(x,y,z)=x+y+z-6.
Agora calculo os gradientes (lembre: cada componente é uma derivada parcial):
Agora a direção da reta tangente é um vetor v ortogonal a ambos os normais \nabla F_1 e \nabla F_2. O produto vetorial dá exatamente isso: v=\nabla F_1\times\nabla F_2.
Explicando o produto vetorial: se a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), então