Seja z(y)=e^{j 2 \pi 100 t}, esboce x(t)=\operatorname{Re}[z(t)], y(t)=\operatorname{Im}[z(t)].

Passo 1

O enunciado dá a função complexa (notei que estava escrito z(y) no enunciado, vou interpretar como z(t)):
z(t)=e^{j 2\pi 100 t}.
Pede-se para esboçar as duas sinais obtidas a partir de z(t):
  • x(t)=\operatorname{Re}[z(t)] (parte real);
  • y(t)=\operatorname{Im}[z(t)] (parte imaginária).
Informações relevantes fornecidas:
  • A amplitude da exponencial complexa é 1 (pois coeficiente multiplicando o exponencial é 1).
  • A frequência temporal é f=100\\ \text{Hz} (aparece em 2\pi 100 t).
  • A variável independente é t.
  • Unidade de tempo padrão em segundos; período ainda será calculado.

Passo 2

Vamos lembrar (essa é a ferramenta-chave para transformar exponencial complexa em seno/cosseno): a fórmula de Euler:
e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta,
onde \theta é um ângulo em radianos, \cos\theta é o cosseno (parte real) e \sin\theta é o seno (parte imaginária). Aqui j é a unidade imaginária ( j^2=-1), notação comum em engenharia.
Explicando devagar: a fórmula diz que o exponencial complexo descreve um ponto no círculo unitário no plano complexo, com coordenadas (\cos\theta,\sin\theta).

Passo 3

Aplicando Euler com \theta = 2\pi 100 t, escrevemos z(t) como soma de parte real e imaginária:
z(t)=e^{j 2\pi 100 t}=\cos\bigl(2\pi 100 t\bigr) + j\,\sin\bigl(2\pi 100 t\bigr).
Daí, identificamos diretamente:
x(t)=\operatorname{Re}[z(t)]=\cos\bigl(2\pi 100 t\bigr),
y(t)=\operatorname{Im}[z(t)]=\sin\bigl(2\pi 100 t\bigr).

Passo 4

Algumas quantidades úteis para o esboço:
  • Frequência f=100\\ \text{Hz}.
  • Período T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{100}=0,01\\ \text{s}.
  • Frequência angular \omega=2\pi f=2\pi\cdot100=200\pi\\ \text{rad/s}\approx628{,}32\\ \text{rad/s}.
Expliquei essas porque ao desenhar o sinal precisamos marcar o tempo entre repetições: cada ciclo dura T=0,01\\ \text{s}.

Passo 5

Pontos-chave em um ciclo (úteis para o esboço): calcule nos instantes t=0,\;t=\tfrac{T}{4},\;t=\tfrac{T}{2},\;t=\tfrac{3T}{4},\;t=T.
T=0,01\\ \text{s},\quad \tfrac{T}{4}=0,0025\\ \text{s},\quad \tfrac{T}{2}=0,005\\ \text{s},\quad \tfrac{3T}{4}=0,0075\\ \text{s}.
Avaliações:
  • Em t=0: \cos(0)=1, \sin(0)=0.
  • Em t=\tfrac{T}{4} (ângulo =\tfrac{\pi}{2}): \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
  • Em t=\tfrac{T}{2} (ângulo \pi): \cos(\pi)=-1, \sin(\pi)=0.
  • Em t=\tfrac{3T}{4} (ângulo \tfrac{3\pi}{2}): \cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0, \sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1.
  • Em t=T (ângulo 2\pi): \cos(2\pi)=1, \sin(2\pi)=0.
Use esses pontos para posicionar máximos, zeros e mínimos no esboço.

Passo 6

Descrição qualitativa dos gráficos (como desenhar mentalmente):
  • x(t)=\cos\bigl(2\pi 100 t\bigr): é um cosseno de amplitude 1, inicia em 1 no instante t=0, cruza o eixo em t=\tfrac{T}{4}, atinge mínimo -1 em t=\tfrac{T}{2}, volta a 1 em t=T. Forma suave e periódica com período 0,01\\ \text{s}.
  • y(t)=\sin\bigl(2\pi 100 t\bigr): é um seno de amplitude 1, inicia em 0 no instante t=0, atinge máximo 1 em t=\tfrac{T}{4}, mínimo -1 em t=\tfrac{3T}{4}, e repete a cada T.
Relação de fase: o cosseno está defasado em \tfrac{\pi}{2} rad (ou 90^\circ) em relação ao seno. Ou seja,
\cos\theta=\sin\Bigl(\theta+\tfrac{\pi}{2}\Bigr).
Assim, x(t) “antecede” y(t) por um quarto de período.

Passo 7

Passo a passo prático para desenhar no papel (modo prova):
  1. Trace o eixo horizontal (tempo) e vertical (amplitude de -1 a 1).
  2. Marque t=0, t=\tfrac{T}{4}, t=\tfrac{T}{2}, t=\tfrac{3T}{4}, t=T com os valores numéricos ( 0,\;0,0025,\;0,005,\;0,0075,\;0,01 s).
  3. Para x(t): coloque pontos (0,1),\;(0,0025,0),\;(0,005,-1),\;(0,0075,0),\;(0,01,1) e una com curva suave.
  4. Para y(t): coloque pontos (0,0),\;(0,0025,1),\;(0,005,0),\;(0,0075,-1),\;(0,01,0) e una com curva suave.
  5. Se quiser vários ciclos, repita cada bloco de comprimento T=0,01\\ \text{s}.

Passo 8

Checagens rápidas para garantir o esboço está correto:
  • Amplitude máxima e mínima são \pm 1.
  • Zeros de x(t) em t=\tfrac{T}{4} + n\tfrac{T}{2}. Zeros de y(t) em t=n\tfrac{T}{2}.
  • Máximos/minimos alternados a cada \tfrac{T}{4}.
  • Período visível como distância entre dois máximos sucessivos (por exemplo em x(t) entre t=0 e t=T).
Vai dar certo — siga os pontos-chave e liga com uma curva suave que lembra uma onda senoidal.

Resposta

x(t)=\cos\bigl(2\pi 100 t\bigr)
y(t)=\sin\bigl(2\pi 100 t\bigr)

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