Seja
, esboce
.
Passo 1
O enunciado dá a função complexa (notei que estava escrito
no enunciado, vou interpretar como
):
Pede-se para esboçar as duas sinais obtidas a partir de
:
-
(parte real); -
(parte imaginária).
Informações relevantes fornecidas:
- A amplitude da exponencial complexa é
(pois coeficiente multiplicando o exponencial é ). - A frequência temporal é
(aparece em ). - A variável independente é
. - Unidade de tempo padrão em segundos; período ainda será calculado.
Passo 2
Vamos lembrar (essa é a ferramenta-chave para transformar exponencial complexa em seno/cosseno): a fórmula de Euler:
onde
é um ângulo em radianos,
é o cosseno (parte real) e
é o seno (parte imaginária). Aqui
é a unidade imaginária (
), notação comum em engenharia.
Explicando devagar: a fórmula diz que o exponencial complexo descreve um ponto no círculo unitário no plano complexo, com coordenadas
.
Passo 3
Aplicando Euler com
, escrevemos
como soma de parte real e imaginária:
Daí, identificamos diretamente:
Passo 4
Algumas quantidades úteis para o esboço:
- Frequência
. - Período
. - Frequência angular
.
Expliquei essas porque ao desenhar o sinal precisamos marcar o tempo entre repetições: cada ciclo dura
.
Passo 5
Pontos-chave em um ciclo (úteis para o esboço): calcule nos instantes
.
Avaliações:
- Em
: , . - Em
(ângulo ): , . - Em
(ângulo ): , . - Em
(ângulo ): , . - Em
(ângulo ): , .
Use esses pontos para posicionar máximos, zeros e mínimos no esboço.
Passo 6
Descrição qualitativa dos gráficos (como desenhar mentalmente):
-
: é um cosseno de amplitude , inicia em no instante , cruza o eixo em , atinge mínimo em , volta a em . Forma suave e periódica com período . -
: é um seno de amplitude , inicia em no instante , atinge máximo em , mínimo em , e repete a cada .
Relação de fase: o cosseno está defasado em
rad (ou
) em relação ao seno. Ou seja,
Assim,
“antecede”
por um quarto de período.
Passo 7
Passo a passo prático para desenhar no papel (modo prova):
- Trace o eixo horizontal (tempo) e vertical (amplitude de
a ). - Marque
, , , , com os valores numéricos ( s). - Para
: coloque pontos e una com curva suave. - Para
: coloque pontos e una com curva suave. - Se quiser vários ciclos, repita cada bloco de comprimento
.
Passo 8
Checagens rápidas para garantir o esboço está correto:
- Amplitude máxima e mínima são
. - Zeros de
em . Zeros de em . - Máximos/minimos alternados a cada
. - Período visível como distância entre dois máximos sucessivos (por exemplo em
entre e ).
Vai dar certo — siga os pontos-chave e liga com uma curva suave que lembra uma onda senoidal.