Mostre que as matrizes
[ll 0 & 1 0 & 0 ] e[ll 1 & 1 0 & 0 ]
não são semelhantes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que as matrizes
A = 0 & 10 & 0 e B = 1 & 10 & 0
não são semelhantes.
Conteúdo: teoria de invariantes de similaridade de matrizes (polinômio característico, traço, determinante, etc.). Vamos usar o fato de que matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico (e, em particular, o mesmo traço e determinante).

Passo 2

Calculemos o traço e o determinante de A. Lembrando que
traço(M)=M11+M22, det(M)=M11M22-M12M21, ç
Para A temos
traço(A)=0+0=0, det(A)=0cdot0-1cdot0=0 ç

Passo 3

Calculemos agora o traço e o determinante de B.
traço(B)=1+0=1, det(B)=1cdot0-1cdot0=0 ç

Passo 4

Como traço e determinante são invariantes de similaridade, se A e B fossem semelhantes deveríamos ter
traço(A)=traço(B) e det(A)=det(B) çç
Mas vemos que traço(A)=0neq1=traço(B)çç, embora det(A)=det(B)=0. A desigualdade dos traços impede a similaridade.

Resposta

As matrizes A e B não são semelhantes, pois têm traços diferentes.

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