Sejam f(x)=2 x^{3}-5 x^{2}+1, g(x)=x^{5}-x^{4}+x^{3}-2 x-3, h(x)=2 x^{3}-2 x^{2}-x+2, r(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+5 x-3 e s(x)=-x^{2}+x-3. Efetue a operação e dê o grau dos resultados não identicamente nulos:
h(x) \cdot s(x)+r(x) \cdot s(x)

Passo 1

O enunciado dá os polinômios
h(x)=2x^{3}-2x^{2}-x+2, \quad r(x)=-2x^{3}+3x^{2}+5x-3, \quad s(x)=-x^{2}+x-3
e pede h(x)\,s(x)+r(x)\,s(x). Como ambos os termos têm fator comum s(x), vamos usar
h(x)\,s(x)+r(x)\,s(x) = \bigl(h(x)+r(x)\bigr)\,s(x).

Passo 2

Calculamos primeiro a soma h(x)+r(x):
h(x)+r(x) =(2x^{3}-2x^{2}-x+2)+(-2x^{3}+3x^{2}+5x-3) =x^{2}+4x-1.

Passo 3

Agora multiplicamos
(x^{2}+4x-1)\,(-x^{2}+x-3).
Usando a distributiva:
\begin{aligned} &x^{2}\cdot(-x^{2}+x-3) +4x\cdot(-x^{2}+x-3) -1\cdot(-x^{2}+x-3)\\\ &\quad= -x^{4}+x^{3}-3x^{2} \;-\;4x^{3}+4x^{2}-12x \;+\;x^{2}-x+3\\\ &\quad= -x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-13x+3. \end{aligned}

Passo 4

O polinômio resultante é
-\,x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-13x+3
e, por não ser o polinômio nulo, seu grau é 4.

Resposta

-\,x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-13x+3, \quad \text{grau }4.

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