Sejam f(x)=2 x^{3}-5 x^{2}+1, g(x)=x^{5}-x^{4}+x^{3}-2 x-3, h(x)=2 x^{3}-2 x^{2}-x+2, r(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+5 x-3 e s(x)=-x^{2}+x-3. Efetue a operação e dê o grau dos resultados não identicamente nulos:
g(x)+h(x)+r(x)+s(x)

Passo 1

Temos os polinômios
g(x)=x^5 - x^4 + x^3 - 2x - 3,\quad h(x)=2x^3 - 2x^2 - x + 2,
r(x)=-2x^3 + 3x^2 + 5x - 3,\quad s(x)=-x^2 + x - 3.
O objetivo é computar
g(x) + h(x) + r(x) + s(x)
e determinar o grau do resultado não identicamente nulo.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a soma:
g(x) + h(x) + r(x) + s(x) = \bigl(x^5 - x^4 + x^3 - 2x - 3\bigr) + \bigl(2x^3 - 2x^2 - x + 2\bigr)
\quad\quad\quad + \bigl(-2x^3 + 3x^2 + 5x - 3\bigr) + \bigl(-x^2 + x - 3\bigr).

Passo 3

Agrupando os termos de mesmo grau e somando coeficientes, temos:
coeficiente de x^5: 1,
coeficiente de x^4: -1,
coeficiente de x^3: 1 + 2 - 2 = 1,
coeficiente de x^2: 0 - 2 + 3 - 1 = 0,
coeficiente de x: -2 - 1 + 5 + 1 = 3,
constante: -3 + 2 - 3 - 3 = -7.

Passo 4

Escrevendo o polinômio resultante com esses coeficientes, obtém-se
g(x) + h(x) + r(x) + s(x) = x^5 - x^4 + x^3 + 3x - 7.
Como o maior expoente com coeficiente não nulo é 5, o grau do polinômio é 5.

Resposta

g(x) + h(x) + r(x) + s(x) = x^5 - x^4 + x^3 + 3x - 7,\quad \text{grau }5.

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