Sejam f(x)=2 x^{3}-5 x^{2}+1, g(x)=x^{5}-x^{4}+x^{3}-2 x-3, h(x)=2 x^{3}-2 x^{2}-x+2, r(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+5 x-3 e s(x)=-x^{2}+x-3. Efetue a operação e dê o grau dos resultados não identicamente nulos:
(2 x-1) \cdot r(x)-(3 x+2) \cdot s(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o polinômio
(2x - 1)\,r(x)\;-\;(3x + 2)\,s(x)
sendo
r(x) = -2x^3 + 3x^2 + 5x - 3, \quad s(x) = -x^2 + x - 3.
O conteúdo principal aqui é aplicar a lei distributiva para multiplicar polinômios e, em seguida, fazer a subtração e simplificar.

Passo 2

Vamos expandir (2x - 1)\,r(x). Primeiro 2x\cdot r(x):
2x\cdot r(x) = 2x\bigl(-2x^3 + 3x^2 + 5x - 3\bigr) = -4x^4 + 6x^3 + 10x^2 - 6x.
Depois -1\cdot r(x):
-1\cdot r(x) = -1\bigl(-2x^3 + 3x^2 + 5x - 3\bigr) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 3.
Somando os dois resultados:
(2x - 1)\,r(x) = -4x^4 + (6x^3 + 2x^3) + (10x^2 - 3x^2) + (-6x - 5x) + 3 = -4x^4 + 8x^3 + 7x^2 - 11x + 3.

Passo 3

Agora expandimos (3x + 2)\,s(x). Primeiro 3x\cdot s(x):
3x\cdot s(x) = 3x\bigl(-x^2 + x - 3\bigr) = -3x^3 + 3x^2 - 9x.
Depois 2\cdot s(x):
2\cdot s(x) = 2\bigl(-x^2 + x - 3\bigr) = -2x^2 + 2x - 6.
Somando:
(3x + 2)\,s(x) = -3x^3 + (3x^2 - 2x^2) + (-9x + 2x) - 6 = -3x^3 + x^2 - 7x - 6.

Passo 4

Finalmente fazemos a diferença:
(2x - 1)\,r(x)\;-\;(3x + 2)\,s(x) = \bigl(-4x^4 + 8x^3 + 7x^2 - 11x + 3\bigr) -\bigl(-3x^3 + x^2 - 7x - 6\bigr).
Distribuindo o sinal de menos:
= -4x^4 + 8x^3 + 7x^2 - 11x + 3 + 3x^3 - x^2 + 7x + 6.
Agrupando termos semelhantes:
= -4x^4 + (8x^3 + 3x^3) + (7x^2 - x^2) + (-11x + 7x) + (3 + 6) = -4x^4 + 11x^3 + 6x^2 - 4x + 9.

Resposta

O polinômio resultante é
-4x^4 + 11x^3 + 6x^2 - 4x + 9
e o grau desse polinômio é 4.

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