Sejam X_{1}: N(180,40) e X_{2}: N(160,50) independentes. Sejam X=4 X_{1}-3 X_{2} também com distribuição normal. Calcular:
(c) P(|X-210| \leq 16)

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis independentes
\;X_{1}\sim N(180,40) e \;X_{2}\sim N(160,50),
e define uma nova variável
X = 4X_{1} - 3X_{2},
pedindo a probabilidade
P\bigl(\lvert X - 210\rvert \le 16\bigr).
O conteúdo é soma e diferença de variáveis normais e cálculo de probabilidade usando a padronização.

Passo 2

Calculamos a esperança de X usando E[aY+bZ]=aE[Y]+bE[Z]:
\mu_X = 4\mu_{1} - 3\mu_{2} = 4\cdot180 - 3\cdot160 = 720 - 480 = 240.

Passo 3

Calculamos a variância de X pela independência, usando \Var(aY+bZ)=a^2\Var(Y)+b^2\Var(Z):
\sigma_X^2 = 4^2\cdot40 + (-3)^2\cdot50 = 16\cdot40 + 9\cdot50 = 640 + 450 = 1090.
Logo \sigma_X = \sqrt{1090}.

Passo 4

Concluímos que
X \sim N\bigl(240,\,1090\bigr).

Passo 5

A probabilidade pedida é
P\bigl(\lvert X -210\rvert \le16\bigr) = P\bigl(210 -16 \le X \le 210 +16\bigr) = P\bigl(194 \le X \le 226\bigr).

Passo 6

Padronizamos X definindo
Z = \frac{X - 240}{\sqrt{1090}}\sim N(0,1).
Os limites viram
z_1 = \frac{194-240}{\sqrt{1090}} = \frac{-46}{\sqrt{1090}}\approx -1{,}39, \quad z_2 = \frac{226-240}{\sqrt{1090}} = \frac{-14}{\sqrt{1090}}\approx -0{,}42.

Passo 7

P(194\le X\le 226) = P\bigl(z_1 \le Z \le z_2\bigr) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1).
Como z_1 e z_2 são negativos, podemos usar
\Phi(-a) = 1 - \Phi(a).
Logo
\Phi(z_2) - \Phi(z_1) = \bigl[1-\Phi(0{,}42)\bigr] - \bigl[1-\Phi(1{,}39)\bigr] = \Phi(1{,}39) - \Phi(0{,}42).

Passo 8

Consultando tabela de \Phi:
\Phi(0{,}42)\approx0{,}664 e \Phi(1{,}39)\approx0{,}918.
Portanto
P = 0{,}918 - 0{,}664 = 0{,}254.

Resposta

P\bigl(\lvert X -210\rvert \le16\bigr)\approx0{,}254.

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