Sejam X_{1}: N(180,40) e X_{2}: N(160,50) independentes. Sejam X=4 X_{1}-3 X_{2} também com distribuição normal. Calcular:
(a) P(X-3 \sigma \geq \mu-100)

Passo 1

O enunciado apresenta duas variáveis independentes X_1\sim N(180,40) e X_2\sim N(160,50) e define a combinação linear
X = 4X_1 - 3X_2,
que também é normal. Queremos calcular
P\bigl(X - 3\sigma_X \ge \mu_X - 100\bigr).
Para isso, vamos (1) obter \mu_X e \sigma_X, (2) reescrever o evento em termos de X, (3) padronizar e (4) usar a tabela da normal padrão.

Passo 2

Pela propriedade de combinação linear de variáveis normais independentes,
\mu_X = 4\cdot 180 - 3\cdot 160 = 240,
\sigma_X^2 = 4^2\cdot 40 + (-3)^2\cdot 50 = 16\cdot40 + 9\cdot50 = 1090.

Passo 3

Extraindo \sigma_X e reescrevendo a probabilidade,
\sigma_X = \sqrt{1090},
P\bigl(X - 3\sigma_X \ge \mu_X - 100\bigr) = P\bigl(X \ge \mu_X + 3\sigma_X - 100\bigr).

Passo 4

Definindo a normal padrão Z = \frac{X - \mu_X}{\sigma_X}, temos
P\bigl(X \ge \mu_X + 3\sigma_X - 100\bigr) = P\Bigl(Z \ge \frac{\mu_X + 3\sigma_X - 100 - \mu_X}{\sigma_X}\Bigr) = P\Bigl(Z \ge 3 - \frac{100}{\sigma_X}\Bigr).

Passo 5

Calculando numericamente \sigma_X\approx 33,015,
3 - \frac{100}{\sigma_X}\approx 3 - 3,029 = -0,029.
Logo
P\bigl(Z \ge -0,029\bigr) = 1 - \Phi(-0,029) = \Phi(0,029)\approx 0,512.

Resposta

\displaystyle 0,512

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