Sejam X_{1}: N(180,40) e X_{2}: N(160,50) independentes. Sejam X=4 X_{1}-3 X_{2} também com distribuição normal. Calcular:
(b) P(|X-200| \geq 42)

Passo 1

O enunciado diz que X_{1}\sim N(180,40) e X_{2}\sim N(160,50) são independentes e que
X = 4X_{1}-3X_{2}
é também normal. Queremos calcular
P\bigl(|X-200|\ge 42\bigr).
Para isso vamos usar propriedades de combinação linear de normais e a padronização na distribuição normal padrão.

Passo 2

Como X é combinação linear de variáveis independentes normais, temos
E[X]=4E[X_{1}]-3E[X_{2}]=4\cdot180-3\cdot160=240,
\mathrm{Var}(X)=4^{2}\,\mathrm{Var}(X_{1})+(-3)^{2}\,\mathrm{Var}(X_{2}) =16\cdot40+9\cdot50=640+450=1090.
Logo
X\sim N\bigl(240,\,1090\bigr).

Passo 3

Escrevemos o evento em duas caudas:
P\bigl(|X-200|\ge 42\bigr) =P\bigl(X\le 158\;\lor\;X\ge 242\bigr) =P(X\le 158)+P(X\ge 242).

Passo 4

Padronizamos cada probabilidade com
Z=\frac{X-240}{\sqrt{1090}}\sim N(0,1).
Para x=158 e x=242 calculamos
z_{1}=\frac{158-240}{\sqrt{1090}} =\frac{-82}{\sqrt{1090}} \approx -2{,}484,
z_{2}=\frac{242-240}{\sqrt{1090}} =\frac{2}{\sqrt{1090}} \approx 0{,}061.

Passo 5

Usando a função de distribuição \Phi da normal padrão:
P(X\le 158)=P\bigl(Z\le z_{1}\bigr)=\Phi(-2{,}484)\approx 0{,}0065,
P(X\ge 242)=P\bigl(Z\ge z_{2}\bigr)=1-\Phi(0{,}061)\approx 1-0{,}5243=0{,}4757.

Passo 6

Somando as duas probabilidades:
P\bigl(|X-200|\ge 42\bigr) \approx 0{,}0065 + 0{,}4757 = 0{,}4822.

Resposta

P(|X-200|\ge 42)\approx 0{,}4822.

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