Sejam
P(x)=x^{3}+3 x^{2}+2 x
e
Q(x)=2 x^{2}-2 x-12 . \quad o valor de \lim _{x \rightarrow-2} \frac{P(x)}{Q(x)} é

Passo 1

O enunciado fornece as funções polinomiais
P(x)=x^{3}+3x^{2}+2x
e
Q(x)=2x^{2}-2x-12
e pede calcular o limite
\lim_{x\to-2}\frac{P(x)}{Q(x)}.
Informações relevantes dadas:
  • As expressões de P(x) e Q(x) (acima).
  • O ponto de interesse para o limite é x=-2.

Passo 2

Tentar substituição direta: avaliar numerador e denominador em x=-2 para ver se o limite é imediato.
Calcular P(-2):
P(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}+2(-2)=-8+3\cdot4-4=-8+12-4=0.
Calcular Q(-2):
Q(-2)=2(-2)^{2}-2(-2)-12=2\cdot4+4-12=8+4-12=0.
Como obtemos a forma \dfrac{0}{0}, trata-se de uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta e precisamos manipular a expressão algébrica (por exemplo, fatorando e simplificando) antes de avaliar o limite.

Passo 3

Fatorar o numerador P(x). Primeiro notar que todos os termos têm fator comum x, então:
P(x)=x\bigl(x^{2}+3x+2\bigr).
Agora fatorar o polinômio quadrático \dfrac{}{ } x^{2}+3x+2. Procuramos dois números cuja soma seja 3 e produto seja 2; esses números são 1 e 2. Logo:
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Portanto
P(x)=x(x+1)(x+2).

Passo 4

Fatorar o denominador Q(x). Primeiro colocar fator comum numérico:
Q(x)=2\bigl(x^{2}-x-6\bigr).
Agora fatorar x^{2}-x-6. Procuramos dois números cuja soma seja -1 e produto -6; esses números são -3 e 2. Assim:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Portanto
Q(x)=2(x-3)(x+2).

Passo 5

Substituir as fatorações na expressão do limite e simplificar. Temos
\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{x(x+1)(x+2)}{2(x-3)(x+2)}.
Como x+2 aparece no numerador e no denominador, e estamos calculando um limite quando x\to-2 (valor em que originalmente dava 0/0), podemos cancelar o fator comum x+2 desde que consideremos a função simplificada para x\neq-2:
\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{x(x+1)}{2(x-3)},\qquad \text{para }x\neq-2.
Agora que a indeterminação foi removida, podemos avaliar o limite por substituição direta na expressão simplificada:
\lim_{x\to-2}\frac{P(x)}{Q(x)}=\lim_{x\to-2}\frac{x(x+1)}{2(x-3)}=\frac{(-2)\bigl(-2+1\bigr)}{2\bigl(-2-3\bigr)}.
Calcular numericamente passo a passo:
(-2+1)=-1,\qquad (-2)(-1)=2,
-2-3=-5,\qquad 2\cdot(-5)=-10,
portanto a fração é
\frac{2}{-10}=-\frac{1}{5}.

Resposta

-\tfrac{1}{5}

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