Sejam
e
o valor de
é
Passo 1
O enunciado fornece as funções polinomiais
e
e pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- As expressões de
e (acima). - O ponto de interesse para o limite é
.
Passo 2
Tentar substituição direta: avaliar numerador e denominador em
para ver se o limite é imediato.
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Como obtemos a forma
, trata-se de uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta e precisamos manipular a expressão algébrica (por exemplo, fatorando e simplificando) antes de avaliar o limite.
Passo 3
Fatorar o numerador
. Primeiro notar que todos os termos têm fator comum
, então:
Agora fatorar o polinômio quadrático
. Procuramos dois números cuja soma seja
e produto seja
; esses números são
e
. Logo:
Portanto
Passo 4
Fatorar o denominador
. Primeiro colocar fator comum numérico:
Agora fatorar
. Procuramos dois números cuja soma seja
e produto
; esses números são
e
. Assim:
Portanto
Passo 5
Substituir as fatorações na expressão do limite e simplificar. Temos
Como
aparece no numerador e no denominador, e estamos calculando um limite quando
(valor em que originalmente dava
), podemos cancelar o fator comum
desde que consideremos a função simplificada para
:
Agora que a indeterminação foi removida, podemos avaliar o limite por substituição direta na expressão simplificada:
Calcular numericamente passo a passo:
portanto a fração é