Sejam
e
funções duas vezes derivável, satisfazendo:
.
O valor da derivada segunda da função composta (fog) no ponto 0 (zero) é
(A) 0 .
(B) 8 .
(C) 16 .
(D) 32 .
(E) 64 .
O valor da derivada segunda da função composta (fog) no ponto 0 (zero) é
(A) 0 .
(B) 8 .
(C) 16 .
(D) 32 .
(E) 64 .
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
-
e são duas vezes diferenciáveis. - Valores dados:
-
O que o problema pede:
- Calcular a segunda derivada da função composta
no ponto , ou seja encontrar .
Passo 2
Relembrando e aplicando a regra da cadeia para a primeira derivada da composição:
- Para qualquer
,
Explicação didática: a derivada de
mede a taxa de variação de
em função de
. Primeiro a mudança em
provoca mudança em
(fator
) e essa mudança em
provoca mudança em
(fator
). Multiplicam-se porque estamos combinando essas duas taxas.
Passo 3
Agora vamos derivar novamente para obter a segunda derivada. Aplicamos a regra do produto à expressão
e, dentro dela, usamos novamente a regra da cadeia para derivar
:
Para
aplicamos a cadeia: derivada de
em relação ao argumento vezes derivada do argumento:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora avaliamos a fórmula no ponto
. Substituímos
,
,
e os valores de
e
em
(pois
):
-
. -
. -
. -
.
Usando a fórmula:
Passo 5
Resumo e interpretação curta: a segunda derivada da composição combina duas contribuições — a variação da derivada de
ao longo de
(termo com
) multiplicada pelo quadrado da taxa de
, e a contribuição direta da curvatura de
multiplicada por
. Substituindo os valores dados obtém-se
. Força aí — esse tipo de conta é direta quando a fórmula geral está clara!