Sejam f e g funções duas vezes derivável, satisfazendo:
f^{\prime}(1)=2, \quad f^{\prime \prime}(1)=4, \quad g(0)=1, g^{\prime}(0)=2, \quad g^{\prime \prime}(0)=8.
O valor da derivada segunda da função composta (fog) no ponto 0 (zero) é
(A) 0 .
(B) 8 .
(C) 16 .
(D) 32 .
(E) 64 .

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • f e g são duas vezes diferenciáveis.
  • Valores dados:
    • f'(1)=2
    • f''(1)=4
    • g(0)=1
    • g'(0)=2
    • g''(0)=8
O que o problema pede:
  • Calcular a segunda derivada da função composta (f\circ g) no ponto 0, ou seja encontrar (f\circ g)''(0).

Passo 2

Relembrando e aplicando a regra da cadeia para a primeira derivada da composição:
  • Para qualquer x,
(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x).
Explicação didática: a derivada de f\circ g mede a taxa de variação de f em função de x. Primeiro a mudança em x provoca mudança em g(x) (fator g'(x)) e essa mudança em g(x) provoca mudança em f (fator f'(g(x))). Multiplicam-se porque estamos combinando essas duas taxas.

Passo 3

Agora vamos derivar novamente para obter a segunda derivada. Aplicamos a regra do produto à expressão f'(g(x))\,g'(x) e, dentro dela, usamos novamente a regra da cadeia para derivar f'(g(x)):
\begin{aligned} (f\circ g)''(x) &=\frac{d}{dx}\big(f'(g(x))\,g'(x)\big) \\\ &= \big(\frac{d}{dx}f'(g(x))\big)\,g'(x) + f'(g(x))\,g''(x). \end{aligned}
Para \frac{d}{dx}f'(g(x)) aplicamos a cadeia: derivada de f' em relação ao argumento vezes derivada do argumento:
\frac{d}{dx}f'(g(x)) = f''(g(x))\,g'(x).
Substituindo de volta:
(f\circ g)''(x) = f''(g(x))\big(g'(x)\big)^2 + f'(g(x))\,g''(x).

Passo 4

Agora avaliamos a fórmula no ponto x=0. Substituímos g(0), g'(0), g''(0) e os valores de f' e f'' em 1 (pois g(0)=1):
  • f''(g(0)) = f''(1)=4.
  • \big(g'(0)\big)^2 = (2)^2 = 4.
  • f'(g(0)) = f'(1)=2.
  • g''(0)=8.
Usando a fórmula:
(f\circ g)''(0) = f''(g(0))\big(g'(0)\big)^2 + f'(g(0))\,g''(0) = 4\cdot 4 + 2\cdot 8 = 16 + 16 = 32.

Passo 5

Resumo e interpretação curta: a segunda derivada da composição combina duas contribuições — a variação da derivada de f ao longo de g (termo com f'') multiplicada pelo quadrado da taxa de g, e a contribuição direta da curvatura de g multiplicada por f'. Substituindo os valores dados obtém-se 32. Força aí — esse tipo de conta é direta quando a fórmula geral está clara!

Resposta

(D)\\\ 32

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