Define-se valor médio de uma função F sobre uma região R no espaço por:
\operatorname{Vm}(F)=\frac{1}{\text { Volume de } R} \iiint_{R} F d V.
Considerando a função dada por F(x, y, z)=x y z, o valor médio de F sobre o cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=4, y=4 e z=4, no primeiro octante, é igual a
(A) \frac{16}{3}.
(B) \frac{64}{3}.
(C) 64 .
(D) 16 .
(E) 8 .

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função F(x,y,z)=xyz sobre o cubo R no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=4, y=4 e z=4.
Informações dadas:
  • A função é F(x,y,z)=xyz.
  • A região R é o cubo \{(x,y,z)\mid 0\le x\le4,\\\ 0\le y\le4,\\\ 0\le z\le4\}.
  • O valor médio é definido por \operatorname{Vm}(F)=\dfrac{1}{\text{Volume de }R}\iiint_{R}F\,dV.
O que precisamos calcular: a fração entre a integral tripla de xyz sobre R e o volume de R.

Passo 2

Calcular o volume de R.
Como R é um cubo com aresta de comprimento 4, o volume é
\text{Volume de }R = 4\cdot4\cdot4 = 64.
Explicação curta: volume de um paralelepípedo retângulo é produto das medidas das arestas; aqui todas são 4.

Passo 3

Escrever a integral tripla que aparece no numerador de \operatorname{Vm}(F).
Como os limites são retangulares e independentes, podemos escrever
\iiint_{R} xyz\,dV = \int_{0}^{4}\int_{0}^{4}\int_{0}^{4} xyz\,dz\,dy\,dx.
Observação didática: quando a região é um produto de intervalos e a integranda é produto de funções de cada variável, a integral separa-se em produto de integrais unidimensionais. Aqui vamos integrar na ordem z, depois y, depois x.

Passo 4

Integrar em relação a z primeiro (mantendo x e y fixos).
Calculemos
\int_{0}^{4} xyz\,dz = xy\int_{0}^{4} z\,dz = xy\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = xy\cdot\frac{16}{2} = 8xy.
Explicação: x e y são constantes quando integramos em z; a primitiva de z é z^{2}/2.

Passo 5

Agora integrar em relação a y:
\int_{0}^{4} 8xy\,dy = 8x\int_{0}^{4} y\,dy = 8x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = 8x\cdot\frac{16}{2} = 8x\cdot8 = 64x.
Explicação: x é constante nesta integração; a primitiva de y é y^{2}/2.

Passo 6

Por fim, integrar em relação a x:
\int_{0}^{4} 64x\,dx = 64\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = 64\cdot\frac{16}{2} = 64\cdot8 = 512.
Portanto a integral tripla é \iiint_{R} xyz\,dV = 512.

Passo 7

Calcular o valor médio usando a definição:
\operatorname{Vm}(F)=\frac{1}{\text{Volume de }R}\iiint_{R}F\,dV = \frac{1}{64}\cdot 512 = 8.
Interpretação breve: a média de xyz sobre o cubo é 8. É consistente com a propriedade de separabilidade: poderia também ter se calculado como \bigl(\tfrac{1}{4}\int_{0}^{4}x\,dx\bigr)\bigl(\tfrac{1}{4}\int_{0}^{4}y\,dy\bigr)\bigl(\tfrac{1}{4}\int_{0}^{4}z\,dz\bigr)\cdot 64 levando ao mesmo resultado (mas a forma direta usada acima é mais direta).

Resposta

E) 8

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