Define-se valor médio de uma função F sobre uma região
no espaço por:
.
Considerando a função dada por
, o valor médio de F sobre o cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
, no primeiro octante, é igual a
(A)
.
(B)
.
(C) 64 .
(D) 16 .
(E) 8 .
Considerando a função dada por
(A)
(B)
(C) 64 .
(D) 16 .
(E) 8 .
Passo 1
O enunciado pede o valor médio da função
sobre o cubo
no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos
,
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - A região
é o cubo . - O valor médio é definido por
.
O que precisamos calcular: a fração entre a integral tripla de
sobre
e o volume de
.
Passo 2
Calcular o volume de
.
Como é um cubo com aresta de comprimento
, o volume é
Como
Explicação curta: volume de um paralelepípedo retângulo é produto das medidas das arestas; aqui todas são
.
Passo 3
Escrever a integral tripla que aparece no numerador de
.
Como os limites são retangulares e independentes, podemos escrever
Como os limites são retangulares e independentes, podemos escrever
Observação didática: quando a região é um produto de intervalos e a integranda é produto de funções de cada variável, a integral separa-se em produto de integrais unidimensionais. Aqui vamos integrar na ordem
, depois
, depois
.
Passo 4
Integrar em relação a
primeiro (mantendo
e
fixos).
Calculemos
Calculemos
Explicação:
e
são constantes quando integramos em
; a primitiva de
é
.
Passo 5
Agora integrar em relação a
:
Explicação:
é constante nesta integração; a primitiva de
é
.
Passo 6
Por fim, integrar em relação a
:
Portanto a integral tripla é
.
Passo 7
Calcular o valor médio usando a definição:
Interpretação breve: a média de
sobre o cubo é
. É consistente com a propriedade de separabilidade: poderia também ter se calculado como
levando ao mesmo resultado (mas a forma direta usada acima é mais direta).
Resposta
E)