A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{3}}{3^{n}} converge? Justifique.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
Pede-se determinar se a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{3^{n}} converge, com justificativa.
Informação dada: os termos gerais são positivos e valem \displaystyle a_n=\frac{n^{3}}{3^{n}} para n\ge1.
Passo 2
Explicação do teste que vou usar (Teste da razão) e por que ele é apropriado:
O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série de termos positivos \displaystyle\sum a_n, se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
então
se L<1 a série converge absolutamente;
se L>1 a série diverge;
se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui os termos a_n têm fator exponencial 3^{-n}, então o teste da razão tende a ser eficaz (por causa do comportamento exponencial), por isso vou aplicá-lo.
Passo 3
Cálculo do quociente \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e do seu limite:
Conclusão de convergência a partir do Teste da Razão:
Como L=\dfrac{1}{3}<1, pelo Teste da Razão a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{3^{n}} converge absolutamente.
Explicação rápida do que isto significa: “converge absolutamente” quer dizer que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n^{3}}{3^{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{3^{n}} converge, logo a série original converge.
Passo 5
(Etapa adicional — ensinar uma técnica útil) Como calcular a soma exata da série usando séries de potências:
Para x com |x|<1 vale a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Se eu quiser obter \sum_{n=1}^{\infty}n^{3}x^{n}, uso derivação sucessiva com o operador x\frac{d}{dx}, que transforma \sum n^{k}x^{n} em ordens crescentes de k. Primeiro, já conhecido,
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n}= \frac{x}{(1-x)^{2}}.
Aplicando x\frac{d}{dx} a essa série obtenho a soma dos n^{2}x^{n}:
Concluímos que a série converge de forma absoluta e, além disso, tem soma exata \dfrac{33}{8}.
Bom trabalho em chegar até aqui — dominar o teste da razão e a técnica de derivar séries geométricas vale muito para muitas questões de prova. Força que você consegue!