A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{3}}{3^{n}} converge? Justifique.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se determinar se a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{3^{n}} converge, com justificativa.
  • Informação dada: os termos gerais são positivos e valem \displaystyle a_n=\frac{n^{3}}{3^{n}} para n\ge1.

Passo 2

Explicação do teste que vou usar (Teste da razão) e por que ele é apropriado:
  • O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série de termos positivos \displaystyle\sum a_n, se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
então
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Aqui os termos a_n têm fator exponencial 3^{-n}, então o teste da razão tende a ser eficaz (por causa do comportamento exponencial), por isso vou aplicá-lo.

Passo 3

Cálculo do quociente \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e do seu limite:
  • Primeiro escrevo o quociente:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{(n+1)^3}{3^{\,n+1}}}{\dfrac{n^3}{3^{\,n}}} =\frac{(n+1)^3}{n^3}\cdot\frac{1}{3}.
  • Agora analiso o fator \dfrac{(n+1)^3}{n^3}. Posso escrever
\frac{(n+1)^3}{n^3}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3,
e sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3=1.
  • Portanto o limite do quociente é
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Conclusão de convergência a partir do Teste da Razão:
  • Como L=\dfrac{1}{3}<1, pelo Teste da Razão a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{3^{n}} converge absolutamente.
  • Explicação rápida do que isto significa: “converge absolutamente” quer dizer que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n^{3}}{3^{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{3^{n}} converge, logo a série original converge.

Passo 5

(Etapa adicional — ensinar uma técnica útil) Como calcular a soma exata da série usando séries de potências:
  • Para x com |x|<1 vale a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.
  • Se eu quiser obter \sum_{n=1}^{\infty}n^{3}x^{n}, uso derivação sucessiva com o operador x\frac{d}{dx}, que transforma \sum n^{k}x^{n} em ordens crescentes de k. Primeiro, já conhecido,
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n}= \frac{x}{(1-x)^{2}}.
  • Aplicando x\frac{d}{dx} a essa série obtenho a soma dos n^{2}x^{n}:
\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n} = x\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{(1-x)^{2}}\right) = \frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}.
  • Repetindo mais uma vez (aplicando x\frac{d}{dx} a \sum n^{2}x^{n}) obtenho \sum n^{3}x^{n}:
\sum_{n=1}^{\infty}n^{3}x^{n} = x\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}\right).
  • Faço a derivada passo a passo. Escrevo \dfrac{x(1+x)}{(1-x)^{3}} como f(x)\cdot g(x) com f(x)=x(1+x) e g(x)=(1-x)^{-3}. Então
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}\right) =(1+2x)(1-x)^{-3} + (x+x^{2})\cdot 3(1-x)^{-4}.
  • Colocando em denominação comum e simplificando obtém-se
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}\right) =\frac{1+4x+x^{2}}{(1-x)^{4}}.
  • Multiplicando por x (lembre: \sum n^{3}x^{n}=x\frac{d}{dx}(\cdots)) chega-se à fórmula fechada
\sum_{n=1}^{\infty}n^{3}x^{n}=\frac{x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}},\qquad |x|<1.

Passo 6

Avaliação da soma no caso x=\dfrac{1}{3} (daí obtemos a soma da série original):
  • Substituindo x=\dfrac{1}{3} na fórmula:
\sum_{n=1}^{\infty}n^{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} =\frac{\dfrac{1}{3}\left(1+4\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\right)}{\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^{4}}.
  • Calculo o numerador:
\frac{1}{3}\left(1+\frac{4}{3}+\frac{1}{9}\right) =\frac{1}{3}\cdot\frac{9+12+1}{9} =\frac{1}{3}\cdot\frac{22}{9} =\frac{22}{27}.
  • Calculo o denominador:
\left(1-\frac{1}{3}\right)^{4}=\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{16}{81}.
  • Dividindo numerador por denominador:
\frac{22/27}{16/81}=\frac{22}{27}\cdot\frac{81}{16}=\frac{22\cdot3}{16}=\frac{66}{16}=\frac{33}{8}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo:
  • Concluímos que a série converge de forma absoluta e, além disso, tem soma exata \dfrac{33}{8}.
  • Bom trabalho em chegar até aqui — dominar o teste da razão e a técnica de derivar séries geométricas vale muito para muitas questões de prova. Força que você consegue!

Resposta

Converge absolutamente; soma =\dfrac{33}{8}.

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