Sejam f(x, y)=x^3+y^3-x^2+4 y e P 1(x, y) o polinômio de Taylor de ordem I de f em volta de (1,1). Mostre
que para todo (x, y), com|x-1|<1 e|y-1|<1,
|f(x, y)-P1(x, y)|<7(x-1)^2+6(y-1)^2

Passo 1

A questão pede o polinômio de Taylor de ordem I de f(x,y)=x³+y³−x²+4y cerca de (1,1) e depois mostrar que o erro entre f e esse polinômio satisfaz uma certa desigualdade. Vamos precisar calcular P₁, usar o Teorema do Resto de Taylor em várias variáveis e depois estimar esse resto.

Passo 2

Calculo de P₁ usando derivadas parciais em (1,1): primeiro f(1,1)=1+1−1+4=5. Em seguida f_x=3x²−2x ⇒ f_x(1,1)=3−2=1 e f_y=3y²+4 ⇒ f_y(1,1)=3+4=7. Logo:
P1(x,y)=f(1,1)+fx(1,1)(x-1)+fy(1,1)(y-1)=5+1,(x-1)+7,(y-1)

Passo 3

Pelo Teorema de Taylor de ordem 1 em várias variáveis, existe ponto (ξ,η) no segmento entre (1,1) e (x,y) tal que o resto de ordem 2 vale
R2=f(x,y)-P1(x,y)=12sumi,j=1^2partial^2 fpartial xipartial xj(ξ,η),(hi)(hj), onde h₁=x−1 e h₂=y−1. Calculamos as derivadas segundas de f:
partial^2 fpartial x^2=6x-2, partial^2 fpartial xpartial y=0, partial^2 fpartial y^2=6y

Passo 4

Substituindo no resto, obtemos
R2=12l((6ξ-2)(x-1)^2+6η(y-1)^2r)

Passo 5

Como |x−1|<1 e |y−1|<1, tanto ξ quanto η estão em (0,2). Então
|6ξ-2|<=6|ξ|+2<6cdot2+2=14, |6η|<=6|η|<6cdot2=12

Passo 6

Logo
|f(x,y)-P1(x,y)|=|R2|<=12l(14(x-1)^2+12(y-1)^2r)=7(x-1)^2+6(y-1)^2, que é exatamente o que se pedia mostrar.

Resposta

Mostramos que para |x-1|<1 e |y-1|<1 vale
|f(x,y)-P1(x,y)|<7(x-1)^2+6(y-1)^2

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