Sejam
e
o polinômio de Taylor de ordem I de
em volta de
. Mostre
que para todo
,
que para todo
Passo 1
A questão pede o polinômio de Taylor de ordem I de f(x,y)=x³+y³−x²+4y cerca de (1,1) e depois mostrar que o erro entre f e esse polinômio satisfaz uma certa desigualdade. Vamos precisar calcular P₁, usar o Teorema do Resto de Taylor em várias variáveis e depois estimar esse resto.
Passo 2
Calculo de P₁ usando derivadas parciais em (1,1): primeiro f(1,1)=1+1−1+4=5. Em seguida f_x=3x²−2x ⇒ f_x(1,1)=3−2=1 e f_y=3y²+4 ⇒ f_y(1,1)=3+4=7. Logo:
Passo 3
Pelo Teorema de Taylor de ordem 1 em várias variáveis, existe ponto (ξ,η) no segmento entre (1,1) e (x,y) tal que o resto de ordem 2 vale
Passo 4
Substituindo no resto, obtemos
Passo 5
Como |x−1|<1 e |y−1|<1, tanto ξ quanto η estão em (0,2). Então
Passo 6
Logo
Resposta
Mostramos que para |x-1|<1 e |y-1|<1 vale