3- a) Justifique por que
.
b) Determine o resto da divisão de
por 26 .
b) Determine o resto da divisão de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Justificar por que
. - (b) Determinar o resto da divisão de
por .
Informações dadas (explícitas/implícitas):
- O módulo é
. - Os números envolvidos são
, e . - Para resolver (b) será útil trabalhar com congruências e propriedades de potências em aritmética modular.
Passo 2
Definição e ideia chave (aula rápida e simples).
- Dizemos que
quando divide . Em símbolos: se, e somente se, existe um inteiro tal que . - Exemplo simples para fixar:
porque e é múltiplo de ( ).
Passo 3
Aplicando a definição à parte (a).
- Calcular a diferença entre
e : . - Como
é múltiplo de (de fato ), temos que divide . - Pela definição de congruência, concluímos que
.
Passo 4
Propriedade útil para potências (mini-aula).
- Se
, então, para qualquer inteiro , vale . A prova é por indução ou usando que multiplicação preserva congruência. - Portanto, uma vez que
, podemos substituir por dentro de potências maiores, o que facilita muito os cálculos.
Passo 5
Cálculo de
usando a observação anterior (método direto e simples).
- Escreve-se
. - Substituindo
, obtemos . - Como
é par, . - Logo
. Isso significa que o resto da divisão de por é .
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para dar segurança — mini-aula rápida sobre Euler).
- Como
e , o Teorema de Euler diz . - Como
é múltiplo de ( ), segue , confirmando o resultado anterior.
Resposta
a)
, porque
é divisível por
.
b) O resto da divisão de por
é
.
b) O resto da divisão de