3- a) Justifique por que 25 \equiv-1(\bmod 26).
b) Determine o resto da divisão de 5^{60} por 26 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Justificar por que 25 \equiv -1 \pmod{26}.
  • (b) Determinar o resto da divisão de 5^{60} por 26.
Informações dadas (explícitas/implícitas):
  • O módulo é 26.
  • Os números envolvidos são 25, -1 e 5^{60}.
  • Para resolver (b) será útil trabalhar com congruências e propriedades de potências em aritmética modular.

Passo 2

Definição e ideia chave (aula rápida e simples).
  • Dizemos que a\equiv b\pmod{n} quando n divide a-b. Em símbolos: a\equiv b\pmod{n} se, e somente se, existe um inteiro k tal que a-b = k\cdot n.
  • Exemplo simples para fixar: 8\equiv 2\pmod{3} porque 8-2=6 e 6 é múltiplo de 3 ( 6=2\cdot3).

Passo 3

Aplicando a definição à parte (a).
  • Calcular a diferença entre 25 e -1: 25-(-1)=25+1=26.
  • Como 26 é múltiplo de 26 (de fato 26=1\cdot26), temos que 26 divide 25-(-1).
  • Pela definição de congruência, concluímos que 25\equiv -1\pmod{26}.

Passo 4

Propriedade útil para potências (mini-aula).
  • Se x\equiv y\pmod{n}, então, para qualquer inteiro k\ge0, vale x^k\equiv y^k\pmod{n}. A prova é por indução ou usando que multiplicação preserva congruência.
  • Portanto, uma vez que 5^2=25\equiv -1\pmod{26}, podemos substituir 5^2 por -1 dentro de potências maiores, o que facilita muito os cálculos.

Passo 5

Cálculo de 5^{60}\pmod{26} usando a observação anterior (método direto e simples).
  • Escreve-se 5^{60}=(5^2)^{30}.
  • Substituindo 5^2\equiv -1\pmod{26}, obtemos (5^2)^{30}\equiv (-1)^{30}\pmod{26}.
  • Como 30 é par, (-1)^{30}=1.
  • Logo 5^{60}\equiv 1\pmod{26}. Isso significa que o resto da divisão de 5^{60} por 26 é 1.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para dar segurança — mini-aula rápida sobre Euler).
  • Como \gcd(5,26)=1 e \varphi(26)=\varphi(2\cdot13)=26\left(1-\tfrac12\right)\left(1-\tfrac{1}{13}\right)=12, o Teorema de Euler diz 5^{12}\equiv 1\pmod{26}.
  • Como 60 é múltiplo de 12 ( 60=12\cdot5), segue 5^{60}=(5^{12})^5\equiv 1^5=1\pmod{26}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

a) 25\equiv -1\pmod{26}, porque 25-(-1)=26 é divisível por 26.
b) O resto da divisão de 5^{60} por 26 é 1.

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